Spazio Normato e insieme compatto

[Nero&Grigia]

Buongiorno a tutti!
Sono alle prese con un esercizio e vi chiedo per favore di darmi una mano.
L'esercizio è questo:

Sia $N:RR^3 -> RR$ definita da:

$ N (x, y, z) := max \{ |x| + |y|, |z|\} $ .

Dimostrare che $N$ è una norma su $RR^3$ e stabilire se l’insieme $\{(x, y, z) in RR^3:\ N(x, y, z) <= 3 \}$ è compatto rispetto alla metrica indotta da $N$.

Ora, per quanto riguarda la dimostrazione di norma credo che la seguente possa andare:

• $N (X)=N(x,y,z) >=0$ per definizione di modulo, ed è uguale a $0$ se e solo se \(\displaystyle X=(0,0,0) \);
  
  
• $ N ( alpha X) =N (alpha x, alpha y, alpha z) = max \{ |\alpha x|+|\alpha y|,|\alpha z|\} <= max \{ |\alpha|(|x|+|y|), |\alpha||z|\} = |\alpha| max \{ |x| + |y|, |z| \} =|alpha| N(X)$;
  
  
• $ N(X1+X2)= N(x1+x2,y1+y2,z1+z2)$.

Vi torna?:-)

Ora, sia $ E= \{ X in RR^3:\ N(X) <= 3 \}$.

Considero la palla di raggio $3$ centrata in $0$: $ B_3(0)= \{ X in RR^3:\ N(X) <= 3 \}$ che è chiaramente chiusa e limitata, quindi è verificata la condizione necessaria ma non sufficiente di compattezza. Per dimostrare che è compatto dovrei verificare che da ogni ricoprimento di aperti si può estratte un sottoricoprimento finito (aiuto!!) oppure che è sequenzialmente compatto, ovvero che da ogni successione si può estrarre una sottosuccessione convergente (dalla padella alla brace).

Mi date una mano, please?
Grazie infinite!

[gugo82]

Sia $N:RR^3 -> RR$ definita da:

$ N (x, y, z) := max \{ |x| + |y|, |z|\} $ .

Dimostrare che $N$ è una norma su $RR^3$ e stabilire se l’insieme $\{(x, y, z) in RR^3:\ N(x, y, z) <= 3 \}$ è compatto rispetto alla metrica indotta da $N$.

Ora, per quanto riguarda la dimostrazione di norma credo che la seguente possa andare:

• $N (X)=N(x,y,z) >=0$ per definizione di modulo, ed è uguale a $0$ se e solo se \(\displaystyle X=(0,0,0) \);

Perché vale $N(X) = 0 => X=(0,0,0)$?
Non lo spieghi.

• $ N ( alpha X) =N (alpha x, alpha y, alpha z) = max \{ |\alpha x|+|\alpha y|,|\alpha z|\} <= max \{ |\alpha|(|x|+|y|), |\alpha||z|\} = |\alpha| max \{ |x| + |y|, |z| \} =|alpha| N(X)$;

C’è una disuguaglianza di troppo.

• $ N(X1+X2)= N(x1+x2,y1+y2,z1+z2)$.

Questa non è una proprietà delle norme.

Ora, sia $ E= \{ X in RR^3:\ N(X) <= 3 \}$.

Considero la palla di raggio $3$ centrata in $0$: $ B_3(0)= \{ X in RR^3:\ N(X) <= 3 \}$ […]

Qui non stai facendo altro che dare un altro nome al tuo insieme $E$.
Decidi.

[…] che è chiaramente chiusa e limitata, quindi è verificata la condizione necessaria ma non sufficiente di compattezza.

“Chiaramente” chiusa e limitata in quale topologia?

Per dimostrare che è compatto dovrei verificare che da ogni ricoprimento di aperti si può estratte un sottoricoprimento finito (aiuto!!) oppure che è sequenzialmente compatto, ovvero che da ogni successione si può estrarre una sottosuccessione convergente (dalla padella alla brace).

Non serve nulla di tutto ciò.
$RR^3$ ha dimensione finita, quindi…

[Nero&Grigia]

Ciao gugo82, ti ringrazio molto per la risposta

Perché vale \(\displaystyle N(X)=0⇒X=(0,0,0)? \)

In realtà questa cosa l'avevo vista "a occhio", paradossalmente dimostrarla non mi viene tanto semplice.

\(\displaystyle N(X)=0 ⇒ max { |x1| + |y1|, |z1|} = max { |x2| + |y2|, |z2|} \)si verifica nei seguenti casi

se \(\displaystyle |x1| + |y1|>|z1| \) allora
\(\displaystyle |x1| + |y1|=|x2| + |y2| \)oppure\(\displaystyle |x1| + |y1|=|z2| \)

se \(\displaystyle |x1| + |y1|<|z1| \) allora
\(\displaystyle |z1|=|z2| \)oppure\(\displaystyle |z1|=|x2| + |y2| \)
sono sulla strada giusta?

\(\displaystyle N(αX)=N(αx,αy,αz)=max{|αx|+|αy|,|αz|}≤max{|α|(|x|+|y|),|α||z|}=|α|max{|x|+|y|,|z|}=|α|N(X); \)

Qual è la disuguaglianza di troppo?

\(\displaystyle N(X1+X2)=N(x1+x2,y1+y2,z1+z2) \)

scusa è sfuggita una parte di dimostrazione:
\(\displaystyle N(X1+X2)=N(x1+x2,y1+y2,z1+z2) = max { |x1+x2| + |y1+y2|, |z1+z2|} <= max { |x1| + |y1|, |z1|} + max { |x2| + |y2|, |z2|} = N(X1+N(X2) \)

“Chiaramente” chiusa e limitata in quale topologia?

In \(\displaystyle (R^3,|.|) \), ma in\(\displaystyle R^N \) tutte ne norme sono equivalenti quindi inducono la stessa topologia... giusto?

\(\displaystyle R^3 \) ha dimensione finita, quindi…

Basta dire che essendo di dimensione finita chiuso e limitato \(\displaystyle \Leftrightarrow \) compatto?
Come si dimostra in generale, ad esempio negli spazi \(\displaystyle l^p \)?

Grazie ancora

[gugo82]

Ciao gugo82, ti ringrazio molto per la risposta

Perché vale \(\displaystyle N(X)=0⇒X=(0,0,0)? \)

In realtà questa cosa l'avevo vista "a occhio", paradossalmente dimostrarla non mi viene tanto semplice.

\(\displaystyle N(X)=0 ⇒ max { |x1| + |y1|, |z1|} = max { |x2| + |y2|, |z2|} \)si verifica nei seguenti casi

se \(\displaystyle |x1| + |y1|>|z1| \) allora
\(\displaystyle |x1| + |y1|=|x2| + |y2| \)oppure\(\displaystyle |x1| + |y1|=|z2| \)

se \(\displaystyle |x1| + |y1|<|z1| \) allora
\(\displaystyle |z1|=|z2| \)oppure\(\displaystyle |z1|=|x2| + |y2| \)
sono sulla strada giusta?

No.

Semplicemente, cosa accade se $max \{ |x| + |y|, |z|\}=0$?

\(\displaystyle N(αX)=N(αx,αy,αz)=max{|αx|+|αy|,|αz|} {\color{red}≤} max{|α|(|x|+|y|),|α||z|}=|α|max{|x|+|y|,|z|}=|α|N(X); \)

Qual è la disuguaglianza di troppo?

Quella in rosso.

\(\displaystyle N(X1+X2)=N(x1+x2,y1+y2,z1+z2) \)

scusa è sfuggita una parte di dimostrazione:
\(\displaystyle N(X1+X2)=N(x1+x2,y1+y2,z1+z2) = max { |x1+x2| + |y1+y2|, |z1+z2|} \leq max { |x1| + |y1|, |z1|} + max { |x2| + |y2|, |z2|} = N(X1+N(X2) \)

E perché vale $<=$?
Non lo spieghi.

“Chiaramente” chiusa e limitata in quale topologia?

In \(\displaystyle (R^3,|.|) \), ma in\(\displaystyle R^N \) tutte ne norme sono equivalenti quindi inducono la stessa topologia... giusto?

Esatto… Ma non è quello che devi dimostrare (vuoi provare che $E$ è compatto in $(RR^3, N)$, non in $(RR^3, |*|)$).

Tuttavia:

\(\displaystyle R^3 \) ha dimensione finita, quindi…

Basta dire che essendo di dimensione finita chiuso e limitato \(\displaystyle \Leftrightarrow \) compatto?

Secondo te?
Basta?

O c’è da dire qualcosa in più? Tipo quello che hai detto sopra?

Come si dimostra in generale, ad esempio negli spazi \(\displaystyle l^p \)?

Semplicemente, non si dimostra… Perché è falso.


P.S.: Per citare un messaggio basta usare il tasto “CITA che trovi in alto a destra di ogni post; non c’è bisogno di copiaincollare il contenuto.