gugo82 ha scritto:Innanzitutto, non è un’equazione integrale, perché vi compaiono anche derivate… Al massimo, puoi chiamarla equazione integro-differenziale.
E' vero, chiedo scusa.
gugo82 ha scritto:Poi, semplifica la notazione: tutti questi apici e queste costanti non aiutano.
\(\displaystyle z \) e \(\displaystyle z' \) sono due variabili diverse, ma che esplorano lo stesso intervallo. Solitamente si indicano così nei problemi di elettrodinamica, ma comunque è solo una notazione.
Il doppio apice che compare in \(\displaystyle I''(z') \) indica invece la derivata seconda di \(\displaystyle I(z') \).
gugo82 ha scritto:“Si può notare come”, no: non si nota affatto. Hai fatto i calcoli?
Nei punti \( \displaystyle z\in [-L,L]\setminus [-\Delta,\Delta] \) ho che \(\displaystyle E^i(z)=0 \), e quindi l'equazione diventa:
$$0 = \int _{z'=-L}^L\left(k^2 I(z') + I''(z')\right)\frac{e^{-jk\sqrt{a ^2+(z-z')^2}}}{ \sqrt{a^2+(z-z')^2}}\mathrm{d}z'-\left[\frac{e^{-jk\sqrt{a ^2+(z-z')^2}}}{ \sqrt{a^2+(z-z')^2}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} z'}I(z') \right]_{z'=-L}^L +\left[I(z') \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} z'}\frac{e^{-jk\sqrt{a ^2+(z-z')^2}}}{ \sqrt{a^2+(z-z')^2}}\right]_{z'=-L}^L $$
dove \( \displaystyle I(z')=I_0\sin(k(L-|z'|)) \) risolve il problema perché annulla la funzione integranda grazie al fattore \( \displaystyle I(z')=I_0\sin(k(L-|z'|)) \) e anche i termini calcolati in \(\displaystyle z'=L \) e \(\displaystyle z'=-L \), grazie all'annullamento del seno e alla parità del coseno.
gugo82 ha scritto:Infine, i termini sembrano “sensibili” ad un’integrazione per parti: hai provato?
E' proprio integrando per parti un'equazione precedente a questa che sono arrivato a questa forma che ho riportato all'inizio.
Quella da cui sono partito era questa:
$$j\omega\mu\epsilon E^i(z)=a\int _{z'=-L}^LI(z') \left(\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} z'^2}+k^2\right)\frac{e^{-jk\sqrt{a ^2+(z-z')^2}}}{4\pi \sqrt{a^2+(z-z')^2}}\mathrm{d}z'$$