Differenza tra funzione generatrice e serie di potenze

Messaggioda 3m0o » 22/10/2019, 21:57

Salve,
Spero sia la sezione giusta. Mi domandavo quale fosse la differenza formale tra una funzione generatrice e una serie di potenze.
La definizione che mi hanno dato di funzione generatrice al corso di matematica discreta è la seguente:
Sia \( (a_n)_{n \in \mathbb{N} } \) una successione di numeri reali, una funzione generatrice \( a(x) \) è
\[ a(x) = \sum\limits_{n \geq0 } a_n x^n \]

Mentre al corso di analisi 1 mi diedero la seguente definizione di serie di potenze
Sia \( (a_n)_{n \in \mathbb{N} } \) una successione di numeri reali e sia \( x_0 \in \mathbb{R} \), una serie di potenze è un espressione
\[ \sum\limits_{n \geq0 } a_n (x-x_0)^n \]

Ha senso domandarsi qual'è il raggio di convergenza della funzione generatrice?
3m0o
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Re: Differenza tra funzione generatrice e serie di potenze

Messaggioda gugo82 » 22/10/2019, 22:12

Stessa cosa… Solo attento alla terminologia: la funzione generatrice è la somma della serie di potenze di centro $0$ che ha per coefficienti i termini della successione scelta.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
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Re: Differenza tra funzione generatrice e serie di potenze

Messaggioda 3m0o » 22/10/2019, 22:43

Grazie
Riguardo alla convergenza, per trovare ad esempio la funzione generatrice della successione \( a_0 = 1 \), \( a_1 = 3 \) e \( a_k = 3 a_{k-1} - 2 a_{k-2} \) per \( k \geq 2 \).
Io ho fatto nei due modi seguenti. Ma mi domando se i passaggi sono legittimati. Nel senso che se non erro per fare le cose sotto devo supporre che converge, quindi suppongo automaticamente che \( x \) si trovi nel raggio di convergenza. Ma se il raggio di convergenza fosse zero?
Notiamo che per tutti i \( k \geq 2 \) risulta \( a_k - 3 a_{k-1} + 2a_{k-2}=0 \)
Pongo \[ s(x) = \sum\limits_{k\geq0} a_k x^{k} \]
Abbiamo che
\[ 3xs(x) = \sum\limits_{k \geq 1} 3 a_{k-1} x^{k } \]
e
\[ 2x^2s(x) = \sum\limits_{k \geq 2} 2 a_{k-2} x^{k } \]
Pertanto
\[s(x) \left( 1 - 3x + 2x^2 \right) = 1 + 3x - 3x + \sum\limits_{k \geq 2} (a_k - 3 a_{k-1} + 2a_{k-2})x^{k } \]
\[ s(x) = \frac{1}{1 - 3x + 2x^2} \]

Oppure posso anche notare che \( a_k - a_{k-1} = 2^k \) per ogni \( k \geq 1 \) e ottenere che
\[ s(x)\left( 1- x \right) = 1 + \sum\limits_{k\geq 1 } (a_k - a_{k-1})x^k \]
\[s(x)\left( 1- x \right) = 1 + \sum\limits_{k\geq 1 } 2^kx^k \]
\[s(x)\left( 1- x \right) =\sum\limits_{k\geq 0 } 2^kx^k = \frac{1}{1-2x}\]
Pertanto
\[ s(x) = \frac{1}{(1-2x)(1-x)} \]
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Re: Differenza tra funzione generatrice e serie di potenze

Messaggioda anto_zoolander » 23/10/2019, 00:02

Personalmente non vedo nulla di illegale nei tuoi passaggi
Inoltre non penso che conoscere il raggio di convergenza sia fondamentale: a prescindere dalla sua conoscenza sai che qualsiasi sia il valore di tale raggio, se la serie converge, converge alla tua soluzione.

Se proprio vuoi trovarlo invece non è difficile trovare la soluzione di $a_k-3a_(k-1)+2a_(k-2)=0$ che è(dovrebbe essere) $2^(k+1)-1$
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Re: Differenza tra funzione generatrice e serie di potenze

Messaggioda dissonance » 23/10/2019, 08:36

anto_zoolander ha scritto: non penso che conoscere il raggio di convergenza sia fondamentale: a prescindere dalla sua conoscenza sai che qualsiasi sia il valore di tale raggio, se la serie converge, converge alla tua soluzione.

Io non ho letto quasi nulla del thread, purtroppo, ma volevo comunque rinforzare questo commento di anto con una citazione di "Generatingfunctionology" di Herbert Wilf (https://www.math.upenn.edu/~wilf/) :
To discuss the formal theory of power series, as opposed to their analytic theory, is to discuss these series as purely algebraic objects, in their
roles as clotheslines, without using any of the function-theoretic properties
of the function that may be represented by the series or, indeed, without
knowing whether such a function exists.[...] it often happens [...] that we go through the various ma-
nipulations that follow, but with a guilty conscience because we aren’t sure
whether the various series that we’re working with will converge. [...]
The point of this section is that there’s no need for the guilt, because
the various manipulations can be carried out in the ring of formal power
series, where questions of convergence are nonexistent.
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