Serie di funzioni

[Ema6798]

Salve, mi sto approcciando con non poche difficoltà alle serie di funzioni, sono riuscito a risolvere e comprendere alcuni esercizi, altri un po' meno, tra quelli che non ho ben compreso c'è questo esercizio che ho provato a risolvere:
Studiare la convergenza puntuale della serie:

$sum_(n =1) ^oo (n log(1+x/n))/(x+n)^2$

Dunque da quello che ho capito determinare l'insieme in cui una serie di funzioni converge puntualmente significa determinare dove converge puntualmente la successione delle somme parziali n-esime, quindi in pratica devo capire dove converge la serie risolvendola come una "classica" serie numerica.
Sviluppanto il quadrato al denominatore ho pensato di porre:
$x^2+n^2+2xn\ ~\ n^2$
Invece al numeratore posso scrivere le seguenti stime asintotiche:
$nlog(1+x/n)\ ~\ n(1+x/n-1) = x$
Dunque la mia serie di partenza è asintoticamente equivalente a: $sum_(n=1)^oo (x/n^2)$
che è una serie armonica convergente, in quanto l'esponente di n è 2; qui sorge il mio dubbio poichè non so come trattare quella x al numeratore!
Il libro mi da il seguente risultato: R: $x>\ -1$ non capisco da dove salta fuori, anche se un'idea ce l'avrei:
Infatti ho notato che per n che va da 1 a infinito l'argomento del logaritmo è positivo solo per le x>-1, potrebbe quindi quel risultato essere essenzialmente il dominio della funzione logaritmo? Grazie in anticipo!

[Quinzio]

Direi di si.

[Ema6798]

Direi di si.

Grazie mille!