Limite di una successione

[Michele915]

Potreste aiutarmi a risolvere questo limite:

$ lim_(n -> oo) n^\sqrt{n} - 2^n$

Ho provato a sostituire $n$ con la potenza di $2$ elevata al logaritmo ma non so.
Grazie

[pilloeffe]

Ciao Michele915,

Benvenuto sul forum!

Ho provato a sostituire $n$ con la potenza di $2$ elevata al logaritmo [...]

Mi pare una buona idea, perché non l'hai portata avanti?

$ \lim_{n \to +\infty} n^\sqrt{n} - 2^n = \lim_{n \to +\infty} 2^{\sqrt{n} log_2 n} - 2^n = \lim_{n \to +\infty} 2^n (2^{\sqrt{n} log_2 n - n} - 1) $

La quantità all'interno della parentesi tonda rimane definitivamente negativa $\AA n > 16 $, per cui risulta

$ \lim_{n \to +\infty} n^\sqrt{n} - 2^n = -\infty $

[Michele915]

Ciao Michele915,

Benvenuto sul forum!

Ho provato a sostituire $n$ con la potenza di $2$ elevata al logaritmo [...]

Mi pare una buona idea, perché non l'hai portata avanti?

$ \lim_{n \to +\infty} n^\sqrt{n} - 2^n = \lim_{n \to +\infty} 2^{\sqrt{n} log_2 n} - 2^n = \lim_{n \to +\infty} 2^n (2^{\sqrt{n} log_2 n - n} - 1) $

La quantità all'interno della parentesi tonda rimane definitivamente negativa $\AA n > 16 $, per cui risulta

$ \lim_{n \to +\infty} n^\sqrt{n} - 2^n = -\infty $

Grazie mille