Esercizio su equazione complessa

[Paciccio]

Ciao a tutti,
non riesco a risolvere il seguente esercizio:
Un numero complesso z verifica $ e^(z/i)=2sinz $.

Mi chiede di trovare $Im(z)$.

Ho provato con le formule di Eulero per il seno, con varie proprietà del logaritmo o di e, ma mi perdo sempre.
Vi ringrazio in anticipo

[gugo82]

Facendo la sostituzione $w =z/i <=> z = iw$ e tenendo presente che $sin (iw) = - (e^w - e^(-w))/(2i)$ credo si risolva facile.
Prova.

[Raptorista]

Moderatore: Raptorista

Sposto da Analisi superiore.

[Paciccio]

Nulla.
Anche così non ho idea di come andare avanti.

Il risultato è $1/4log(2)$.

[gugo82]

Posta i passaggi.

[Paciccio]

Il problema è proprio che non riesco a trovare il metodo risolutivo adatto.

Ad esempio, sapendo che $1/i=-i$, e sostituendo a $sin(z)= (e^(iz)-e^(-iz))/(2i)$, si ottiene:

$e^(-iz)=i(e^(-iz)-e^(iz))$

Però non so come continuare: ho provato ad utilizzare $z=x+iy$, o ad utilizzare la forma trigonometrica, ma in qualsiasi caso mi riconduco ad equazioni non risolubili.

Ho la sensazione che sto sbagliando proprio l'approccio iniziale.

[pilloeffe]

Ciao Paciccio,

Benvenuto sul forum!

Proverei ponendo $u := e^{iz} $, che trasforma l'ultima equazione che hai scritto in una equazione in $u$ di secondo grado...

[Paciccio]

anche in questo caso, arrivo a
$e^(2iz)=1+i$

e poi?

[pilloeffe]

$ log(e^{2i z}) = log(1 + i) $

$ 2 i z = log(1 + i) $

$ z = - 1/2 i log(1 + i) = - 1/2 i((log (2))/2 + i \pi/4) = \pi/8 - i log(2)/4 $

Quindi $ Im(z) = - log(2)/4 $ (sarebbe $z = k\pi - 1/2 i log(1 + i) \qquad k \in \ZZ $, quindi si è considerata solo la soluzione che si ottiene per $k = 0 $).