Re: Verifica dei limiti con la definizione

Messaggioda bmabs » 13/11/2019, 09:54

Parto dalla risposta alla domanda: beh direi che vuol dire trovare l'insieme di valori che rende vera la disuguaglianza.

Credo il punto sia proprio quello che dici tu, ovvero interpretare il linguaggio e in particolare il simbolo "implicazione". La mia idea malata era fissare un epsilon, e da questo epsilon trovare un delta che mi faceva trovare delle x (tramite la disequazione) di intorno sulle ascisse. Trovata questa x mi implicava (come condizione subordinata) che valesse la condizione sull'intorno delle ordinate.
In altre parole prima trovare l'intorno forato e da questo dedurne "implicare" che valga |f(x)-l|.., perché tutte quelle condizioni le leggo prima dell'implicazione

Il punto è che invece devo impostare la disequazione sull'intorno $|f(x)-l|<\epsilon(x)$, scegliere un "per ogni epsilon valore fisso" (non più funzione di x ma un valore qualsiasi reale) che stia nelle soluzioni della disequazione ossia verificare che viene raggiunto dalla funzione $\epsilon(x)$ sostituendo una x che renda vera la condizione sull'intorno $|x-x_0|<\delta$.
Proprio non capisco come dedurlo da quel linguaggio (perché l'implicazione mi sembrava un punto di arrivo e non di partenza nella catena logica, cioè io pensavo di dover arrivare a poter risolvere la disequazione impostate le altre condizioni a priori), ora che me l'hai scritto posso accettarlo come tale, però non riesco a togliermi dalla mente che vista così mi sembri equivalente a: Se vale $|f(x)-l|<\epsilon(x)=>$ trovo nelle soluzioni una x che rispetti $0<|x-x_0|<\delta$ equesto per ogni valore epsilon fissato, cioè una implicazione al contrario. Non capisco come arrivare alla tua interpretazione e la cosa mi affligge proprio tanto :(
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Re: Verifica dei limiti con la definizione

Messaggioda gugo82 » 13/11/2019, 11:19

Sbagli ad interpretare le implicazioni.

Risolvere esplicitamente $|f(x) - l| < epsilon$ significa determinare un insieme $S_(l, epsilon)!= emptyset$ tale che $|f(x) - l| < epsilon <=> x in text(Dom)(f) nn S_(l,epsilon)$.
Ne viene che, per ogni sottoinsieme $X sube text(Dom)(f) nn S_(l,epsilon)$ non vuoto, vale l’implicazione $x in X => |f(x) - l| < epsilon $ (ma, in generale, non vale il v.v.).
Conseguentemente, se in $S_(l,epsilon)$ riesci ad isolare un opportuno intorno forato $I_(x_0, delta)^’ := ]x_0-delta , x_0+ delta[\setminus \{x_0\}$ di $x_0$, hai certamente $x in text(Dom)(f) nn I_(x_0,delta)^’ => |f(x) - l|<epsilon$, i.e. $AA x in text(Dom)(f),\ 0<|x - x_0| <delta => |f(x) - l| < epsilon$.

Dunque, nei casi elementari, per vedere se un certo $l$ soddisfa la definizione di limite si risolve la disequazione parametrica $|f(x) - l| < epsilon$ (almeno per valori “piccoli” del parametro) e si cerca di isolare un intorno forato di $x_0$ nell’insieme delle soluzioni.
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Re: Verifica dei limiti con la definizione

Messaggioda bmabs » 13/11/2019, 20:35

Vorrei ringraziarvi TANTO perle vostre risposte perché mi stanno accrescendo molto. Sono inoltreconteto che abbia anche sviluppato un discorso tra due persone che ne sanno molto più di me in materia e leggere eventuali risposte saràper me un paicere. Nell'attesa volevo rispondere un attimo @gugo:

gugo82 ha scritto:Risolvere esplicitamente $|f(x) - l| < epsilon$ significa determinare un insieme $S_(l, epsilon)!= emptyset$ tale che $|f(x) - l| < epsilon <=> x in text(Dom)(f) nn S_(l,epsilon)$.


La mia paura era che risolvendo quella disequazione potessi trovare un $S_(l,epsilon)$ più piccolo dell'insieme delle x dominio di f. Cioè che potessero esistere delle x del dominio che non stavano in $S_(l,epsilon)$.
In tal caso non avrei $<=>$, ma perché questa evenienza è esclusa?
---
Che stupido: dovrebbe essere perché parto da $|f(x) - l|$ e quindi automaticamente per ipotesi e dare senso al tutto f(x) è presanel suo dominio.
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Re: Verifica dei limiti con la definizione

Messaggioda Mathita » 13/11/2019, 22:23

Odio intervenire in discussioni troppo affollate perché si rischia di confondere l'OP, però mi preme chiedere un chiarimento a Sergio. Invito bambs a non leggere i miei vaneggiamenti perché rischierebbe di confondersi le idee. Metto tutto in ot.

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
Sergio ha scritto:... Devi semplicemente trovare un \(\delta\) che valga per qualsiasi \(\epsilon>0\) ...


Il $\delta$ non è unico, ma dipende da $\epsilon$ e da $x_0$, per cui al variare di $x_0$ e di $\epsilon$, il $\delta$ può variare.

Sergio ha scritto:... Quindi \(1-\cos x<x^2/2\) comporta che \(1-\cos x<\epsilon=x^2/2\) se \(\lvert x\rvert<\sqrt{2\epsilon}\).
Quindi \(\delta=\sqrt{2\epsilon}\).
Tutto qui.


Se $\epsilon=\frac{x^2}{2}$, la relazione $|x|<\sqrt{2\epsilon}$ diventa $|x|<|x|$ che è falsa indipendentemente dal valore di $x$.

Cosa mi sto perdendo? Chiedo scusa per eventuali cialtronate: oggi è stata una durissima giornata di lavoro. :-D
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Re: Verifica dei limiti con la definizione

Messaggioda Mathita » 14/11/2019, 12:03

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
Sergio, purtroppo continuo a non capire il tuo procedimento: il passo in cui imponi che epsilon sia una funzione di x non mi pare lecito. :s. Per quanto concerne la disequazione, io la interpreto in questo modo: se $f(x)<g(x)$ è soddisfatta in qualche sottoinsieme $I\subseteq Dom(f)\cap Dom(g)$ e se $g(x) <\epsilon$ è vera in un sottoinsieme $J\subseteq Dom(g)$, per la proprietà transitiva segue che $f(x) <\epsilon$ per ogni $x\in I\cap J$. Con questo voglio dire che il considerare la disequazione $x^2/2<epsilon$ non solo è lecito, ma addirittura "obbligatorio" (è un iperbole) in un esercizio del genere.

Che fatica scrivere da smartphone.
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Re: Verifica dei limiti con la definizione

Messaggioda Mathita » 14/11/2019, 14:28

Sono ancora da smartphone, perdonate la pessima formattazione. Continuo la ormai tradizionale messa in ot.

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
Considero la disuguaglianza notevole

$|\sin(x)|\leq |x| \ \ \ \forall x\in\mathbb{R}$

e la userò per dimostrare che per ogni $epsilon>0$, esiste un numero reale positivo $delta$ tale che se $x$ realizza la doppia disuguaglianza $0<|x|<delta$ allora vale anche $|\sin(x)|<epsilon$.

Dalla disuguaglianza notevole segue che se $|x|<epsilon$ è vera, a maggior ragione sarà vera anche $|\sin(x)|<epsilon$. Un possibile $delta$ è quindi $delta=epsilon$.


So di non essere stato chiarissimo, ma scrivere le formule da mobile è un vero tormento.
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Re: Verifica dei limiti con la definizione

Messaggioda bmabs » 14/11/2019, 18:35

Sì certo tranquilli, continuate pure e non mi confondete. Non leggerò le vostre repliche come consigliate :D, non è assolutamente un problema per quanto mi riguarda!

Vi sconsiglio di usare troppo off topic perché poi ho visto che spesso le discussioni vengono bloccate. Fate pure alla luce del sole. Lamia ultima risposta l'ho scritta qui:

bmabs ha scritto:Vorrei ringraziarvi TANTO perle vostre risposte perché mi stanno accrescendo molto. Sono inoltreconteto che abbia anche sviluppato un discorso tra due persone che ne sanno molto più di me in materia e leggere eventuali risposte saràper me un paicere. Nell'attesa volevo rispondere un attimo @gugo:

gugo82 ha scritto:Risolvere esplicitamente $|f(x) - l| < epsilon$ significa determinare un insieme $S_(l, epsilon)!= emptyset$ tale che $|f(x) - l| < epsilon <=> x in text(Dom)(f) nn S_(l,epsilon)$.


La mia paura era che risolvendo quella disequazione potessi trovare un $S_(l,epsilon)$ più piccolo dell'insieme delle x dominio di f. Cioè che potessero esistere delle x del dominio che non stavano in $S_(l,epsilon)$.
In tal caso non avrei $<=>$, ma perché questa evenienza è esclusa?
---
Che stupido: dovrebbe essere perché parto da $|f(x) - l|$ e quindi automaticamente per ipotesi e dare senso al tutto f(x) è presanel suo dominio.


Nel caso abbia detto castronerie o altro fatemi sapere, per il resto ci si risente in altri topic di certo :). O ameno che on mi diciate possa essere utile leggere.

Buona giornata.
bmabs
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Re: Verifica dei limiti con la definizione

Messaggioda gugo82 » 15/11/2019, 09:38

Sergio ha scritto:gugo, perdonami ma non ho mai visto niente di più complicato, e mi viene la tentazione di dire che non ho mai visto niente di più inutilmente complicato (fatta eccezione per un paio di dimostrazioni di Takayama). Sicuramente questo dipende dal fatto che di matematica ne ho vista moooooolto meno di te, e l'evento "mi sfugge qualcosa di sostanziale" è quasi-certo. Però fammi provare.

Non è complicato, bisogna solo rifletterci su.

Sergio ha scritto:
gugo82 ha scritto:Risolvere esplicitamente $|f(x) - l| < epsilon$ significa determinare un insieme $S_(l, epsilon)!= emptyset$ tale che $|f(x) - l| < epsilon <=> x in text(Dom)(f) nn S_(l,epsilon)$.

Ok, $S_(l, epsilon)$ non è vuoto, ma per il resto "dove abita"?
Può essere $S_(l, epsilon) \setminus text(Dom)(f)\ne emptyset$? Mi pare difficile: a che pro avventurarsi fuori di $text(Dom)(f)$?
Ma allora $x in text(Dom)(f) nn S_(l,epsilon)$ non è altro che $x in S_(l,epsilon)$ e ovviamente $S_(l,epsilon) sube text(Dom)(f)$.

Formalmente, sono d’accordo con te.

Tuttavia, ricorderai che i calcoli si fanno (a volte) tagliando le cose con l’accetta e “dimenticandosi” del dominio delle funzioni coinvolte, determinando così delle soluzioni probabili (quelle che ho indicato con $S_(l,epsilon)$) per la disequazione; le soluzioni effettive si determinano “a posteriori”, andando a scremare quelle accettabili (i.e., appartenenti a $text(Dom) (f)$) tra le soluzioni probabili.
Così è da leggere la condizione $x in text(Dom)(f) nn S_(l,epsilon)$.

Sergio ha scritto:
gugo82 ha scritto:Ne viene che, per ogni sottoinsieme $X sube text(Dom)(f) nn S_(l,epsilon)$ non vuoto, vale l’implicazione $x in X => |f(x) - l| < epsilon $ (ma, in generale, non vale il v.v.).

Ok. Ma se intendi $x in X$ per ogni $X sube S_(l,epsilon)$, questo vuol dire: per ogni $x\in S_(l,epsilon)$ esiste un $epsilon$ tale che $|f(x) - l| < epsilon$.

No, intendo proprio quel che ho scritto.

Il valore del parametro $epsilon$, nel momento in cui si fanno i conti, è da considerarsi fissato.

Sergio ha scritto:Ma cosa è $S_(l,epsilon)$? È un insieme tale che $|f(x) - l| < epsilon$ se e solo se $x\in S_(l,epsilon)$.
Se prescindiamo dai sottoinsiemi propri di $S_(l,epsilon)$ (a che servono? poi non li usi più) si rischia la tautologia. Voglio dire che non vedo l'utilità di quei sottoinsiemi propri, non vedo cosa aggiunga quel "ne viene che".

Risolvere elementarmente la disequazione $|f(x) - l| < epsilon$ significa usare un po’ di algebra per determinare esplicitamente un(a proprietà caratteristica dell’)insieme delle soluzioni, i.e. individuare tutti e soli i valori della incognita $x$ per i quali è vera la disuguaglianza $|f(x) - l| < epsilon$. Il “tutti e soli” vuol dire che l’insieme delle soluzioni che vai a determinare è quello “più grande possibile”, quello massimale: infatti, se $x$ appartiene all’insieme calcolato allora soddisfa $|f(x) - l| < epsilon$ e, viceversa, se $x$ soddisfa $|f(x) - l| < epsilon$ allora appartiene all’insieme che hai calcolato.

Quando prendi un sottoinsieme $X sube text(Dom)(f) nn S_(l,epsilon)$, hai certamente $x in X => |f(x) - l| < epsilon$ perché $X$ è un sottoinsieme dell’insieme delle soluzioni della disequazione e, tuttavia, non vale l’implicazione inversa poiché nessuno (in linea di principio) ti assicura che ogni soluzione di $|f(x) - l| < epsilon$ cada in $X$.

Sergio ha scritto:Veniamo piuttosto al concreto: cos'è mai questo $S_(l,epsilon)$?
È un sottoinsieme del dominio (voglio ben sperare!), proviamo a dargli un "faccia". Direi: $S_(l,epsilon)=\{x:x in text(Dom)(f),|f(x) - l| < epsilon,epsilon>0\}$.
Questo vuol dire, in concreto, che si tratta di trovare i valori di $x$ per cui $|f(x) - l| < epsilon$ per un qualsiasi $epsilon$ strettamente positivo.

Già… Ma, come ricordato più sopra, in parecchi casi concreti i conti si fanno non considerando il dominio e ripescandolo solo dopo.

Sergio ha scritto:Tornando all'esempio: dato che $|cos x-1|<x^2/2$ per $x>0$, ponendo $epsilon=x^2/2$ ottieni $|x|=sqrt(2 epsilon)$.
Quindi, nel caso dell'esempio, $S_(l,epsilon)=\{x:x in text(Dom)(f),|x|=sqrt(2 epsilon)\}$. Infatti: $|cos sqrt(2 epsilon) -1|<epsilon$.
Sembrava un oggetto così misterioso...

Questo non è un esempio della situazione che sto descrivendo.
Infatti, la disequazione da risolvere è $|cos x - 1| < epsilon$ e tu non lo fai, non la risolvi esplicitamente… Anzi, usi un “trucco” (la maggiorazione) che ti consente proprio di non fare il conto esplicito e ti semplifica il problema, perché “magicamente” ti fa trovare subito l’intorno di $0$ che ti serve.

Ma, invece, risolviamola ‘sta disequazione… In altri termini, proviamo con l’uso “duro e puro” della definizione che $lim_(x -> 0) cos x = 1$.
Evidentemente, il dominio della nostra funzione è $RR$, quindi non dobbiamo imporre restrizioni di sorta.
Abbiamo:

$| cos x - 1| < epsilon <=> 1 - epsilon < cos x < 1 + epsilon <=> \{ (cos x < 1 + epsilon), (cos x > 1 - epsilon) :}$

ed, evidentemente, la prima disequazione è verificata ovunque, perciò risulta:

$| cos x - 1| < epsilon <=> cos x > 1 - epsilon$.

Ora, se $ epsilon > 2$ la disequazione $cos x > 1 - epsilon$ è sempre verificata.
Per $epsilon = 2$ la disequazione diviene $cos x > -1$ che è soddisfatta per $x != (2k+1) pi$ (con $k in ZZ$).
dunque $S_(1,2) = RR \setminus \{ (2k+1) pi, k in ZZ\} = cup_(k in ZZ) ](2k-1) pi, (2k+1) pi[$.
Per $0< epsilon < 2$ le cose si fanno più interessanti, giacché la disequazione $cos x > 1 - epsilon $ è soddisfatta da tutti gli $x$ che soddisfano limitazioni del tipo $-arccos (1-epsilon) + 2k pi < x < arccos(1-epsilon) + 2k pi$ (con $k in ZZ)$.
Dunque abbiamo stabilito che:
\[
S_{1,\varepsilon} = \begin{cases} \mathbb{R} &\text{, se } \varepsilon > 2\\ \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} ](2k-1) \pi, (2k+1) \pi[ &\text{, se } \varepsilon =2\\ \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} ] - \arccos (1- \varepsilon) + 2k \pi, \arccos (1 - \varepsilon) + 2k \pi[ &\text{, se } 0 < \varepsilon <2 \end{cases}
\]
e, visto che il dominio del coseno non impone restrizioni, possiamo ben dire che $|cos x -1| < epsilon <=> x in S_(1,epsilon)$.
Da com’è definito $S_{1,\varepsilon}$ si capisce che, per ogni $epsilon > 0$, si può isolare in $S_(1,epsilon)$ un opportuno intorno forato $I_(0,delta)^’$ di $0$: per fare ciò basta scegliere come semiampiezza $delta=delta_(0,epsilon)$ la quantità:

$delta := \{ (pi, text(, se ) epsilon >= 2), (arccos(1 - epsilon), text(, se ) 0<epsilon<2) :}$

(ma, ovviamente, nulla vieta di scegliere un $delta$ diverso dal precedente1, a patto che l’intorno individuato continui ad essere contenuto in $S_(1,epsilon)$).

Poiché un tale intorno forato $I_(0,delta)^’$ è contenuto in $S_(1,epsilon)$ è evidente che $x in I_(0,delta) => |cos x - 1| < epsilon$, ossia che $0<|x|<delta => |cos x - 1| <epsilon$, cosicché la definizione di limite è soddisfatta.


Sergio ha scritto:
gugo82 ha scritto:Conseguentemente, se in $S_(l,epsilon)$ riesci ad isolare un opportuno intorno forato $I_(x_0, delta)^’ := ]x_0-delta , x_0+ delta[\setminus \{x_0\}$ di $x_0$, hai certamente $x in text(Dom)(f) nn I_(x_0,delta)^’ => |f(x) - l|<epsilon$, i.e. $AA x in text(Dom)(f),\ 0<|x - x_0| <delta => |f(x) - l| < epsilon$.

Mamma mia! Provo a tradurre.
Mi interessano i casi in cui $x$ tende (si avvicina) a $x_0$, mi interessa cioè un intorno di $x_0$. Non mi interessa quello che succede in $x_0$ (in cui $f$ potrebbe non essere definita, o presentare una discontinuità, e mi sembrerebbe utile precisarlo), quindi mi interessa un intorno forato di $x_0$, cioè un intervallo $(x_0-delta,x_0+delta)\setminus x_0$. Bene.

Yessir.

Sergio ha scritto:"Se riesci a isolare un opportuno interno forato ... hai certamente...". E che vuol dire "opportuno"?
Opportuno vuol dire: un $x in S_(l,epsilon)$ tale che $|x-x_0|<delta$ per un qualche $delta$.

No.
“Opportuno” vuol dire “un $delta >0$ scelto in modo che $I_(0,delta) sube S_(l,epsilon)$” o, se vuoi, “un $delta >0$ scelto in modo che $0<|x - l| < delta => x in S_(l,epsilon)$.

Sergio ha scritto:Piccola aggiunta: deve trattarsi di un $delta$ dipendente da $epsilon$, in quanto anche $S_(l,epsilon)$ dipende da $epsilon$.

No, questo in generale non è vero.

Prendi $f(x) = l$ e dimostra che $lim_(x -> x_0) f(x) = l$: troverai che puoi prendere sempre $delta_(x_0,epsilon) = 1$ (o $=1237$, ovvero $=pi/sqrt(2e)$) indipendentemente dalla scelta di $epsilon$.

Sergio ha scritto:
gugo82 ha scritto:Dunque, nei casi elementari, per vedere se un certo $l$ soddisfa la definizione di limite si risolve la disequazione parametrica $|f(x) - l| < epsilon$ (almeno per valori “piccoli” del parametro) e si cerca di isolare un intorno forato di $x_0$ nell’insieme delle soluzioni.

E così la faccenda di $S_(l,epsilon)$ si riduce a "risolvere la disequazione"

Beh, questo l’avevo scritto all’inizio.

Sergio ha scritto:(ma quali sono i casi in cui, per funzioni $f:X sube RR to RR$, la faccenda non si riduce a risolvere una disequazione?).
Può non essere così elementare (non è proprio immediato che $|cos x-1|<x^2/2$), ma in fondo si tratta solo di risolvere una disequazione.
Cosa vuol dire "risolvere una disequazione"? In alcuni casi è semplice (link), in altri un po' meno (ad es. link). Pazienza.

Anche questo, l’avevo scritto (mi riferivo al caso delle disequazioni elementari)… Nei casi più complicati si può ragionare in maniera diversa, cercando di evitare contazzi espliciti.

Sergio ha scritto:Una volta trovate le soluzioni, si cerca "di isolare un intorno forato". Cioè?
Si cercano valori delle soluzioni che appartengano a un intorno (forato) di $x_0$. Si cercano cioè soluzioni $x$ tali che $0<|x-x_0|<delta_epsilon$ (inciso: è possibile la ricerca anche se non si è mai sentito parlare di "intorni forati"? per la mia piccolissima esperienza risponderei: ahimé, sì).

Sai meglio di me che non è necessario conoscere il gergo per far funzionare qualcosa: la lavatrice la so far funzionare anche se non conosco il termine tecnico per indicare il cestello (e lo chiamo, ad esempio, “cippiciappi”).

Sergio ha scritto:Qui c'è poco da fare, si deve andare caso per caso.
Nel caso dell'esempio, per valori "piccoli" di $|x-x_0|$ (per $x_0=0$ e $x in [-pi,pi]$), si ha che $|cos x-1|$ aumenta e diminuisce con $x$, quindi basta prendere $|x-x_0|=|x|<sqrt(2 epsilon)$: se $|x|<sqrt(2 epsilon)$, allora $|cos x-1|<epsilon$.

Insomma, in tanti anni è la prima volta che ti vedo... a cavallo di una tangente. Dove sbaglio?

Da nessuna parte, dovevi solo realizzare meglio ciò che ho scritto.
Spero che l’esempio svolto sopra sia d’aiuto…

Ed a proposito: come si modifica l’esempio se scelgo di lavorare con la funzione $cos x$, ma ristretta solo a $QQ$?
(Cioè, come faccio, con la definizione, a provare che $lim_(x ->0) cos x =1$ considerando $text(Dom)(cos) = QQ$?)

Note

  1. Nei casi “interessanti”, diverso vuol dire minore. Il che è proprio quello che si verifica nel caso in esame: infatti, si vede che per $0<epsilon <2$ la quantità $sqrt(2epsilon)$ determinata da Sergio è strettamente minore di $arccos(1-epsilon)$.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
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