Area tra superficie parametrica e retta

[Lorric]

Buonasera a tutti, tra poco ho l’esame di analisi 2 e ho qualche problema su questo tipo di esercizi.
1) Calcolare l’area compresa dalla curva parametrica $ x(t)= t^3 ; y(t)= t^6 + t^3 - 1 $ con $ t:[ 0;2 ] $ e la retta $ y= x+1 $
2) Trovare l’area delimitata dalla curva parametrica $ x(t)= t^2 + 1 ; y(t)=-t^3$ con $t:[0;1] $ e gli assi cartesiani.
In entrambi ho difficoltà perché non posso utilizzare la formula dell’area di gauss green ma sopratutto nel primo non capisco come trovare le intersezioni e quindi capire quali siano gli estremi di integrazione.
Grazie in anticipo

[gugo82]

Hai fatto un disegno?


P.S.: Elimina il tuttomaiuscolo dal titolo. Grazie.

[Lorric]

Ho modificato il titolo
Nel primo esercizio comunque la retta è $ y=x-1 $ scusate.
Ho provato a disegnarle con un programma, graficamente vedo subito che un intersezione è $ (0,-1) $ ma non trovo l’altra. Avevo pensato di scrivere la retta in modo parametrico e poi porre uguale la $x(t), y(t)$ alle componenti della curva parametrica ma non so se funziona.

[pilloeffe]

Ciao Lorric,

Benvenuto sul forum!

Per 1) osserverei che sostituendo $x$ al posto di $t^3$ risulta una parabola...

[Lorric]

Ciao grazie!
Facendo un cambio di variabile quindi la funzione sarebbe $x(u)=u; y(u)= u^2 +u-1$ con $ u [0, 2^(1/3)] $
In questo caso per l’area tra le curve potrei considerare semplicemente la differenza tra l’area sottesa dalla retta e quella sottesa dalla curva tra gli estremi di integrazione di u?

[Bokonon]

Il cambio di variabile ce l'hai già $x=t^3$ quindi $x in [0,8]$
Abbiamo la parabola $y=x^2+x-1$
Mettendo a sistema abbiamo che le due curve hanno un solo punto in comune per $x=0$
Adesso basta risolvere l'integrale $int_0^8 [(x^2+x-1)-(x-1)]dx=int_0^8 x^2dx$

[Lorric]

Perfetto grazie mille Bokonon. Invece nel caso in cui non sia possibile ricondurre la mia funzione parametrica a una funzione nota come nel secondo esercizio che ho postato come si procede?
P.s è un esercizio preso da un vecchio compito, ho provato a farlo ma mi sembra impossibile perché non ci sono aree comprese con gli assi cartesiani o sbaglio?
Nel caso fosse sbagliato ripropongo un vecchio esercizio postato sempre su questo forum dove però sono state cancellate le risposte che spiegavano il procedimento https://www.matematicamente.it/forum/calcolo-area-regione-delimitata-da-una-retta-e-una-cuva-t104844.html

[Bokonon]

Invece nel caso in cui non sia possibile ricondurre la mia funzione parametrica a una funzione nota come nel secondo esercizio che ho postato come si procede?

Chi ha detto che non puoi?
Al variare di t abbiamo $x in [1,2]$ e $y in [-1,0]$
Noterai che ricavando t rispetto ad x la funzione di spezza in 2.
Meglio quindi $t=-y^(1/3) rArr t^2=y^(2/3)$
Da cui $x=y^(2/3)+1$
E ora basta fare $int_(-1)^0 [y^(2/3)+1] dy$

Se clicchi nei circoli vuoti prima delle funzioni, le visualizza.
https://www.desmos.com/calculator/byjjm7wyfa

[Lorric]

Perfetto grazie mille è che non riuscivo a capire quale fosse l'area da considerare!
Un ultimo caso se posso (scusa le infinite domande ma sto cercando di chiarirmi tutti i dubbi), nel link che ho copiato sopra e preso da questo forum invece non posso ricavare t in funzione di x e y. Come potrei procedere? Se necessario posso anche copiare di nuovo il testo dell'esercizio.

[pilloeffe]

perché non posso utilizzare la formula dell’area di gauss green

Perché sostieni di non poter utilizzare le formule di Gauss-Green nel piano? Mi sa che sono proprio quelle da usare se

non posso ricavare t in funzione di x e y. Come potrei procedere?

Come indicato nel post del primo che ti ha risposto...

Hai fatto un disegno?

Poi parametrizzando tutte le curve in questione: dai un'occhiata ad esempio qui.