Re: Aiuto risoluzione funzione

Messaggioda lolopoo » 10/11/2019, 15:34

nel senso che devo calcolarmi il dominio della derivata e poi sostituire i due punti x=0 e x=-1 nella derivata ?
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Re: Aiuto risoluzione funzione

Messaggioda pilloeffe » 10/11/2019, 19:50

No, il dominio della derivata è uguale a quello della funzione, ma in più il denominatore della derivata si annulla per $x = 0 $ e per $x = - 1 $, quindi non è possibile calcolarla in quei due punti, al contrario della funzione... :wink:
Considerato che $f(x) > 0 \quad \AA x \in D $ e che $f'(x) < 0 $ per $x < - 1 $ e $f'(x) > 0 $ per $x > 0 $, la funzione proposta è decrescente per $x \in (-\infty, - 1) $ e crescente per $x \in (0, +\infty) $ ed i due punti $L(-1, 1) $ e $L'(0, 1) $ sono punti di minimo assoluto per la funzione proposta, che pertanto ha codominio $C = [1, +\infty) $
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Re: Aiuto risoluzione funzione

Messaggioda lolopoo » 10/11/2019, 21:56

scusami se non sono bravissimo

mi potresti aiutare a capire meglio i passaggi ? come si fa a capire dove decresce e dove cresce ?

una volta calcolata la derivata prima cosa si fa ?

grazie ancora
lolopoo
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Re: Aiuto risoluzione funzione

Messaggioda pilloeffe » 11/11/2019, 00:46

lolopoo ha scritto:scusami se non sono bravissimo

Sì tranquillo, me ne sono accorto, no problem... :wink:
lolopoo ha scritto:una volta calcolata la derivata prima cosa si fa ?

Si studia il segno della derivata prima, ma tenendo conto del suo insieme di definizione. In particolare, nel caso in esame i due intervalli di interesse sono $x < - 1 $ e $x > 0 $: per $x < - 1 $ la derivata è senz'altro negativa (occhio al numeratore, il denominatore è senz'altro positivo) e pertanto la funzione è decrescente; al contrario per $x > 0 $ la derivata è senz'altro positiva (occhio al numeratore, il denominatore è senz'altro positivo) e pertanto la funzione è crescente.
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Re: Aiuto risoluzione funzione

Messaggioda lolopoo » 11/11/2019, 12:08

Io faccio cosi di solito

Studio appunto in segno della derivata prima .

$ (2x+1)/(2sqrt(x(x+1) $ >0

e ottengo x>o

poi metto nel grafico x>0 x<-1

poi mi perdo. Non ho capito benissimo
io credevo che la derivata fosse negativa solo nell intervalli -1<x<0

mi potresti gentilmente indicare meglio i passaggi ? scusami ancora
lolopoo
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Re: Aiuto risoluzione funzione

Messaggioda pilloeffe » 11/11/2019, 13:16

lolopoo ha scritto:e ottengo x>o

Beh, con un'analisi frettolosa della positività del numeratore otterresti $x > - 1/2 $; però poi da $-1/2 $ a $0 $ non è definita la derivata perché il radicando a denominatore risulterebbe negativo, quindi si conclude che essa è positiva per $x > 0 $. Poi la derivata sarebbe negativa per $x < -1/2 $, ma dato che non è definita in $[-1, -1/2) $ perché il radicando a denominatore risulterebbe negativo, ecco che si conclude che essa è negativa per $x < - 1 $
Il concetto chiave è che ha senso chiedersi dove qualcosa è positivo (o negativo) quando quel qualcosa esiste... :wink: Vale lo stesso discorso anche per $f(x) $: semplicemente non ha senso chiedersi se la funzione $f(x) $ è positiva o meno nell'intervallo $(-1, 0) $ perché in tale intervallo la funzione $f(x) $ non è definita.
Ultima modifica di pilloeffe il 11/11/2019, 14:36, modificato 1 volta in totale.
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Re: Aiuto risoluzione funzione

Messaggioda lolopoo » 11/11/2019, 14:32

ok grazie ...chiarissimo

per il punto 5 che mi chiede immagine di f

non ho capito come si calcola. se coincide col codominio oppure no :(
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Re: Aiuto risoluzione funzione

Messaggioda pilloeffe » 11/11/2019, 14:55

Una funzione si dice suriettiva quando ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio. In tal caso si ha che l'immagine coincide con il codominio. Di solito conviene ed è comodo vederlo dopo aver abbozzato un grafico della funzione, ma nel caso in esame è piuttosto facile anche ricavarlo direttamente:

$y = f(x) = \sqrt{x^2 + x} + 1 \implies y - 1 = \sqrt{x^2 + x} >= 0 \implies y >= 1$
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Re: Aiuto risoluzione funzione

Messaggioda lolopoo » 11/11/2019, 15:17

Immagine

normalmente come si fa a capire dal grafico quale sia l' immagine della funzione ? e dal punto di vista algebrico ?

il grafico dovrebbe essere questo
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Re: Aiuto risoluzione funzione

Messaggioda pilloeffe » 11/11/2019, 15:51

lolopoo ha scritto:il grafico dovrebbe essere questo

Negativo, o meglio non si capisce perché non si riesce a vedere cosa succede in $- 1 $ e $0$... :wink:
Quello mostrato sembra più il grafico della funzione $g(x) = |x| $
Usa una scala più "umana"... :wink:
lolopoo ha scritto:normalmente come si fa a capire dal grafico quale sia l' immagine della funzione ?

Si dà un'occhiata al grafico e si vede in quale insieme varia $y $: ad esempio nel caso della funzione $g(x) = |x| $ che sembra quella mostrata nel post precedente si ha $C = [0, +\infty) $
lolopoo ha scritto:e dal punto di vista algebrico ?

Si trova $x = x(y) $. Nel caso in esame non è neanche necessario proseguire oltre il punto indicato per capire che deve essere $y >= 1 $, cioè $C = [1, +\infty) $
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