Aiuto risoluzione funzione

il grafico dovrebbe essere questo.
Ma non ho capito perchè si tiene conto come immagine di $ (1, + oo ) $ e non $ (- oo ,-1 ) $

e non mi è chiarissimo il passaggio algebricoanche

grazie ancora

Ma non ho capito perchè si tiene conto come immagine di $(1,+\infty)$ e non $(−\infty,−1)$

Ti stai confondendo: devi guardare le $y $, non le $x$...
Prova a rispondere a queste semplici domande: se "spazzi" l'asse $y$ con rette orizzontali, a partire da quale valore di $y > 0 $ (dato che $f(x) > 0 \quad \AA x \in D$) cominci a trovare dei valori di $x $ della funzione? E fino a dove ne trovi?

e non mi è chiarissimo il passaggio algebrico anche

Quale passaggio algebrico? Questo?

$y=f(x)=\sqrt{x^2 + x}+1\implies y−1 = \sqrt{x^2 + x} >= 0 \implies y >= 1 $

Ho semplicemente portato a sinistra $1$ e considerato che siccome il radicale deve essere positivo, lo stesso deve essere per $y - 1 $ e quindi si ha $y - 1 >= 0 \implies y >= 1 $

ah ok ok grazie . spiegazione molto chiara

per quanto riguarda ultimo punto invece non ho capito cosa voglia sapere

6) stabilire al variare del parametro k, quante soluzioni (ed eventualmente di che tipo )ha l equazione f(x)=k

Ti sta chiedendo di discutere per quali valori di $k $ la retta orizzontale $y = k $ interseca la funzione $y = f(x) $, cioè di discutere al variare di $k$ il sistema seguente:

$\{(y = \sqrt{x^2 + x} + 1),(y = k):}$

La discussione è praticamente immediata:
i) per $k < 1 $ nessuna soluzione;
ii) per $k >= 1 $ due soluzioni reali e distinte.

non ho capito bene come si risolve il sistema e come si ricavano i due risultati

Non devi risolvere il sistema, il grafico della funzione $f(x) = \sqrt{x^2 + x} + 1 $ ce l'hai, comincia a disegnare delle rette orizzontali: finché esse stanno sotto il valore $k = 1 $ non intersecheranno mai il grafico della funzione $f(x) $, sei d'accordo? Per $k = 1 $ la retta orizzontale passa proprio per i due punti di minimo assoluto $L(-1, 1) $ e $L'(0, 1) $; per $k > 1 $ invece la retta orizzontale interseca la funzione in due punti (che non ci interessa determinare, ma sappiamo che certamente sono due).

ok grazie mille ancora .

Saresti così gentile da aiutarmi anche in un ultima funzione ? te ne sarei grato

Magari però apri un nuovo post...

grazie . l ho aperto