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Con il metodo di frobenius sviluppo $ x^2y''+xy'-9y=0 $
suppongo come soluzione $ y=sum_(n =0)^oo a_nx^(n+s) $
Quindi posso riscrivere l'equazione differenziale come:
$ sum_(n =0)^oo (n+s)(n+s-1)a_nx^(n+s)+sum_(n =0)^oo (n+s)a_nx^(n+s)-sum_(n =0)^oo 9a_nx^(n+s) =0$

per n=0
$ { ( a_0(s^2-9)=0),( a_0!= 0 ):} $
quindi $ s=+- 3 $

Adesso se vado a calcolarmi i coefficienti ennesimi per $ s=+- 3 $ non mi trovo con la soluzione del libro che è $ y=Ax^-3+Bx^3 $ perchè mi trovo uno sviluppo in serie non notevole, cioè non riesco a ricondurlo a sviluppi di funzioni fondamentali.
Mi basta scrivere quello che ho fatto come soluzione supponendo A e B sviluppi in serie o sbaglio qualcosa?

Ciao gionni98,

Quella proposta è un'equazione differenziale di Eulero del secondo ordine che ammette una soluzione del tipo $y = x^s $; quest'ultima, sostituita nell'equazione di partenza e riordinando i termini fornisce l'equazione $s^2 - 9 = 0 \implies s = \pm 3 $, cioè due soluzioni reali e distinte. Quindi la soluzione dell'equazione differenziale proposta è la seguente:

$y(x) = A x^{-3} + B x^3 $

Dai un'occhiata ad esempio qui.

Si so che è un equazione di Eulero ma devo risolverla con il metodo di Frobenius da traccia dell'esercizio.