Salve,
ho un dubbio inerente ad un esercizio presente su uno degli esoneri del mio corso degli anni scorsi.
Data la funzione:
$ f(x)=sqrt(e^x-3)/(7-x) $
stabilire per quali valori $ alpha in R $ $ f(x)=alpha $ ammette almeno una soluzione reale.
Ovviamente questo è solo un estratto dell'esercizio originale, tuttavia gli altri quesiti non avevano nulla di particolarmente difficile. Premetto che per affrontare questo esercizio non è ammesso l'utilizzo delle derivate.
Ora, per $ alpha>=0 $ la soluzione è abbastanza ovvia:
Il dominio della funzione è:
$ dom(f)=[log(3), 7) uu (7, +oo) $
risulta in particolare che la funzione sia continua e crescente nell'intervallo $ [log(3), 7) $.
Inoltre:
$ f(log(3))=0 $
$ lim_(x -> 7^-) f(x)=+oo $
Allora risulta che nell'intervallo $ [log(3), 7) $:
\( \inf (f)=0 \)
\( \sup(f)=+\infty \)
Quindi per il teorema dei valori intermedi posso dire che la funzione nel suddetto intervallo assume tutti i valori di $ R_+ $.
Ora viene la parte un po' più complicata: considero i valori $ alpha < 0 $.
So che:
$ lim_(x -> 7^+)f(x)=-oo $
Inoltre:
$ lim_(x -> +oo )f(x)=-oo $
Dunque, senza l'utilizzo delle derivate, come posso rispondere a questo quesito?
Grazie in anticipo delle vostre risposte.