Mathita ha scritto:... E se decidessimo di non usare De l'Hopital?
Nota: non ho ancora tentato di risolvere il problema senza il teorema del Marchese e non sono sicuro che si possa trovare una strategia elegante bypassandolo.
Il caso \( f(0)=0\) si puo' bypassare: fissa \( \epsilon > 0 \), esistera' \( \delta > 0 \) tale che \( |f(t)| \le \epsilon \), diciamo per \( t \in [0, \delta) \). Allora \[ \begin{split} x \int_x ^1 \frac{f(t)}{t^2} \, dt & = x \left( \int_x^\delta \frac{f(t)}{t^2} \, dt + \int_\delta ^1 \frac{f(t)}{t^2} \, dt \right) \\ & \le x \epsilon \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{\delta} \right) + x C(\delta) \end{split} \]per ogni \( x \in [0,\delta) \). Passando al limite ottieni \[ \lim_{x \to 0^+} x \int_x ^1 \frac{f(t)}{t^2} \, dt \le \epsilon. \]Concludi usando l'arbitrarieta' di \(\epsilon\).
gugo82 ha scritto:[...] Poco importa (ed è questo il punto dell’esercizio): il teorema del marchese vale sempre quando il denominatore tende ad $+- oo$.
E c'hai ragione pure te.