Convergenza integrale

[Drenthe24]

Ho questo esercizio in cui mi si chiede di determinare se il seguente integrale improprio converge o meno:
$ int_(0)^(oo) ln(1+x)/(xarctan(sqrt(x))) dx $
l'integrale è improprio in entrambi gli estremi di integrazione, quindi:
$ int_(0)^(1) ln(1+x)/(xarctan(sqrt(x))) dx $ + $ int_(1)^(oo) ln(1+x)/(xarctan(sqrt(x))) dx $
per il primo addendo:
$ ~ int_(0)^(1) 1/(sqrt(x)) dx $ (ho usate il criterio del confronto asintotico)
nel secondo addendo invece:
essendo $ pi/4 <= arctan(sqrtx)<=pi /2 $
avrò $ <=4/piln(1+x) $ per il criterio del confronto. Come procedo? Quel ln(1+x) mi blocca.
potrei utilizzare il criterio del confronto $ ln(x+1)<=sqrt(x+1) $ $ ~ sqrtx $ , e così l'integrale diverge.

Non sarebbe neanche necessario andare avanti perché l'integrale di partenza convergerà solo se entrambi gli integrali spezzati convergeranno ed essendo che il primo diverge...l'integrale divergerà. Vorrei però risolvere il mi dubbio lo stesso.

[dissonance]

Non hai stabilito correttamente la divergenza di
\[
\int_1^\infty \frac{\log(1+x)}{x\arctan(\sqrt x)}\, dx.\]
Hai dimostrato che questo integrale è più piccolo di un integrale divergente, e questo non implica niente.

Prova a confrontare con
\[
\int_1^\infty\frac{\log x}{x}\, dx.\]
Devi poi dimostrare che quest'ultimo integrale diverge, ma non è difficile, è un calcolo diretto. Integra per parti; \(\frac{1}{x}\log x\,dx=d(\log x)\log x\)...