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Buonasera a tutti,
Ho questo integrale da risolvere al variare di alfa.
La soluzione è la numero 1, cioè $ 1/3<a<1 $
Qualcuno saprebbe spiegarmi il procedimento per favore?
Vi ringrazio in anticipo

Idee tue?

Io ho calcolato il limite per $ xrarr 0 $ dal quale è risultato $ alpha <1 $, devo trovare l'altro valore di alfa ma non so proprio come muovermi

Visto che l’integrando è sufficientemente continuo in $]0,+oo[$, l’unica cosa da fare è valutare cosa accade in $+oo$, no?

Ciao enni,

enni ha scritto:Ho questo integrale da risolvere al variare di alfa

In realtà $\alpha $ non c'è, il parametro è $a$...
Poi capisco che sono i tuoi primi messaggi, ma scrivere l'esercizio proposto come è specificato qui è veramente semplice... Proprio in considerazione del fatto che sono i tuoi primi messaggi per stavolta te lo scrivo io, così magari puoi copiarlo nell'OP ed eliminare l'immagine:

1. Per quali valori di $a > 0$ converge l'integrale generalizzato \( \displaystyle \int_0^{+\infty} (x^{-a} - (1 + x^{2a})^{-1/2}) dx \) ?
[1] \( \displaystyle 1/3 < a < 1 \)
[2] nessun valore di $a$
[3] $a > 1 $
[4] \( \displaystyle 1/2 < a < 1 \)

Infine, per fare quanto ti ha già suggerito gugo82 nel suo ultimo post, riscriverei l'integrale proposto in una forma un po' più "umana"...

gugo82 ha scritto:Visto che l’integrando è sufficientemente continuo in $]0,+oo[$, l’unica cosa da fare è valutare cosa accade in $+oo$, no?

Ok, ho provato a risolvere il \( \lim _{x\rightarrow \infty} \) dell'integrale ma torno sempre punto e a capo. Suggerimenti?

enni ha scritto:Suggerimenti?

In realtà un suggerimento ti è già stato dato, ma lo hai ignorato:

pilloeffe ha scritto:riscriverei l'integrale proposto in una forma un po' più "umana"

$ x^{-a} - (1 + x^{2a})^{-1/2} = \frac{sqrt{1 + x^{2a}} - x^a}{x^a sqrt{1 + x^{2a}}} = \frac{1}{x^a sqrt{1 + x^{2a}}(sqrt{1 + x^{2a}} + x^a)} = $
$ = \frac{1}{x^{3a} sqrt{1 + 1/x^{2a}}(sqrt{1 + 1/x^{2a}} + 1)} $