Teorema del rango

[Silent]

Direttamente dal libro Zorich, Mathematical Analysis I:







mi fermo qui perché mi sorge il primo dubbio.
Come è possibile supporre, senza che ciò sia restrittivo, che il minore principale della matrice Jacobiana di ordine k sia sempre non nullo, qualsiasi sia $x\in U$ in cui è calcolato?
La matrice Jacobiana ha rango k per ipotesi \(\displaystyle \forall x \in U \), ma ciò non vuol dire che il minore principale di ordine k di tale matrice sia sempre non singolare, poiché non posso spostare a piacimento le righe della matrice a seconda del punto x in cui mi trovo. Se facessi una cosa del genere cambierei la definizione stessa di $f$.
Qualcuno mi può aiutare a capire meglio perché una tale ipotesi è effettivamente fattibile?

[gugo82]

Probabilmente puoi rinominare le variabili.

E poi, basta con ‘sto Zorich…

[Silent]

Probabilmente puoi rinominare le variabili.

Non capisco purtroppo. Potresti farmi vedere un esempio per favore?

E poi, basta con ‘sto Zorich…

Aveva il problema del definire male gli 'intervalli', è vero, ma personalmente, da non matematico lo trovo preciso e mi fa capire le cose.
Poi il fatto che non capisca qualche passaggio ogni tanto ci sta, ma succederebbe penso in qualsiasi testo.

[gugo82]

Il testo lo dice che sta facendo proprio l’operazione che ti suggerivo: leggi “In order to avoid…”.

Ad ogni buon conto, ti faccio un esempio.
Considera una funzione $f(x_1,x_2) = (f_1(x_1,x_2), f_2(x_1,x_2))$ che ha jacobiana $(((partial f_1)/(partial x_1), (partial f_1)/(partial x_2)), ((partial f_2)/(partial x_1), (partial f_2)/(partial x_2)))$ col minore $(partial f_1)/(partial x_1) = 0$ e con $(partial f_1)/(partial x_2) != 0$.
Formalmente, scambiare gli indici delle variabili significa applicare la trasformazione di coordinate definita ponendo:

$\{(X_1 = x_2), (X_2 = x_1) :}$

e considerare la funzione $F(X_1, X_2) := f(X_2, X_1) = (f_1(X_2,X_1), f_2(X_2,X_1)) $ (ottenuta sostituendo $x_1$ con $X_2$ ed $x_2$ con $X_1$).
La jacobiana di $F$ è $(((partial F_1)/(partial X_1), (partial F_1)/(partial X_2)), ((partial F_2)/(partial X_1), (partial F_2)/(partial X_2))) = (((partial f_1)/(partial x_2), (partial f_1)/(partial x_1)), ((partial f_2)/(partial x_2), (partial f_2)/(partial x_1)))$ cosicché $(partial F_1)/(partial X_1) = (partial f_1)/(partial x_2) != 0$ e $(partial F_1)/(partial X_2) = (partial f_1)/(partial x_1) = 0$; quindi lo scambio di indici delle variabili produce uno scambio di colonne nella jacobiana e ti porta l’entrata d’indici $1,2$ nell’entrata $1,1$ e v.v. (e l’entrata $2,2$ nell’entrata $2,1$ e v.v.).

Questo non è strano, poiché il teorema di derivazione delle funzioni composte ti dice che la jacobiana di $F$ si ottiene moltiplicando la jacobiana di $f$ per la jacobiana della trasformazione di coordinate, che è $((0,1), (1,0))$:

$(((partial F_1)/(partial X_1), (partial F_1)/(partial X_2)), ((partial F_2)/(partial X_1), (partial F_2)/(partial X_2))) = (((partial f_1)/(partial x_1), (partial f_1)/(partial x_2)), ((partial f_2)/(partial x_1), (partial f_2)/(partial x_2))) * ((0,1), (1,0))$.

Chiaramente, puoi scambiare anche le componenti di $f$ e ciò si fa applicando la trasformazione:

$\{(Y_1 = y_2), (Y_2 = y_1):}$

che produce $Phi(x_1, x_2) := (f_2(x_1,x_2), f_1(x_1,x_2))$ la quale ha jacobiana (verificalo!) $(((partial Phi_1)/(partial x_1), (partial Phi_1)/(partial x_2)), ((partial Phi_2)/(partial x_1), (partial Phi_2)/(partial x_2))) = (((partial f_2)/(partial x_1), (partial f_2)/(partial x_2)), ((partial f_1)/(partial x_1), (partial f_1)/(partial x_2))) = ((0,1), (1,0)) * (((partial f_1)/(partial x_1), (partial f_1)/(partial x_2)), ((partial f_2)/(partial x_1), (partial f_2)/(partial x_2)))$.

[Silent]

Grazie.

Quello che non capisco ancora è come mai questo io lo possa fare a piacimento punto per punto, anziché solo in $x_0$.
Mi spiego meglio...
Partiamo proprio da $x_0$, e supponiamo che non sia inizialmente vero che il minore principale di ordine k della jacobiana abbia rango massimo in $x_0$.
Allora invece di definire la trasformazione $\varphi$ come nelle figure a inizio post (eq. 8.121), la definirò scambiando opportunamente i nomi delle $x_i$ in modo tale che alla fine otterrò il risultato desiderato sul minore principale della jacobiana. Questa cosa 'mi salva' solo in $x_0$.
Appena mi sposto e cambio punto, passando da $x_0$ a un altro generico \(\displaystyle x\in U(x_0) \), chi mi garantisce che tutte le derivate parziali (prima accuratamente selezionate) che compongono il minore principale di ordine k, calcolate stavolta in $x$, forniscano ancora una matrice di rango k?

[gugo82]

Beh chiedilo al sig. Zorich, il cui libro ti piace così tanto.


P.S.: Continuità e teorema di permanenza del segno?

[Silent]

P.S.: Continuità e teorema di permanenza del segno?

Capito, grazie.

Beh chiedilo al sig. Zorich, il cui libro ti piace così tanto.

...ma che vedi di così tremendo dello studiare su questo libro?
Ti ringrazio molto dell'aiuto che mi dai e del tempo che mi metti a disposizione, ma pare che mi 'cazzii' ogni volta che nomino questo libro.

Semplicemente ho cominciato da molto tempo su questo e sarebbe certamente più faticoso e impegnativo cominciarne un altro da capo.

[Silent]

C’è un altro riferimento dove poter studiare questo specifico teorema?
Non ho trovato granché con questo nome, vengo rimandato al teorema del rango in algebra lineare.

Grazie in anticipo.

[dissonance]

Qui.

[Silent]

Grazie, ho capito come cercare una dimostrazione.
Ho dunque trovato questo: https://folk.uib.no/nmabd/dt/dt130107.pdf che a pagina 78 da una dimostrazione che contiene una cosa che ancora non capisco, magari è una stupidata ma sono 'cieco'.
Non riesco a capire come mai fa questo:



dove sembra che faccia finta che \(\displaystyle f_1(t_1,...,t_m) \) e \(\displaystyle t_1 \) siano intercambiabili.
A me viene da pensare che \(\displaystyle f\circ x^{-1} \) ha come dominio un insieme che non deve essere per forza il dominio della funzione \(\displaystyle x \).