da gugo82 » 15/11/2019, 20:05
Il testo lo dice che sta facendo proprio l’operazione che ti suggerivo: leggi “In order to avoid…”.
Ad ogni buon conto, ti faccio un esempio.
Considera una funzione $f(x_1,x_2) = (f_1(x_1,x_2), f_2(x_1,x_2))$ che ha jacobiana $(((partial f_1)/(partial x_1), (partial f_1)/(partial x_2)), ((partial f_2)/(partial x_1), (partial f_2)/(partial x_2)))$ col minore $(partial f_1)/(partial x_1) = 0$ e con $(partial f_1)/(partial x_2) != 0$.
Formalmente, scambiare gli indici delle variabili significa applicare la trasformazione di coordinate definita ponendo:
$\{(X_1 = x_2), (X_2 = x_1) :}$
e considerare la funzione $F(X_1, X_2) := f(X_2, X_1) = (f_1(X_2,X_1), f_2(X_2,X_1)) $ (ottenuta sostituendo $x_1$ con $X_2$ ed $x_2$ con $X_1$).
La jacobiana di $F$ è $(((partial F_1)/(partial X_1), (partial F_1)/(partial X_2)), ((partial F_2)/(partial X_1), (partial F_2)/(partial X_2))) = (((partial f_1)/(partial x_2), (partial f_1)/(partial x_1)), ((partial f_2)/(partial x_2), (partial f_2)/(partial x_1)))$ cosicché $(partial F_1)/(partial X_1) = (partial f_1)/(partial x_2) != 0$ e $(partial F_1)/(partial X_2) = (partial f_1)/(partial x_1) = 0$; quindi lo scambio di indici delle variabili produce uno scambio di colonne nella jacobiana e ti porta l’entrata d’indici $1,2$ nell’entrata $1,1$ e v.v. (e l’entrata $2,2$ nell’entrata $2,1$ e v.v.).
Questo non è strano, poiché il teorema di derivazione delle funzioni composte ti dice che la jacobiana di $F$ si ottiene moltiplicando la jacobiana di $f$ per la jacobiana della trasformazione di coordinate, che è $((0,1), (1,0))$:
$(((partial F_1)/(partial X_1), (partial F_1)/(partial X_2)), ((partial F_2)/(partial X_1), (partial F_2)/(partial X_2))) = (((partial f_1)/(partial x_1), (partial f_1)/(partial x_2)), ((partial f_2)/(partial x_1), (partial f_2)/(partial x_2))) * ((0,1), (1,0))$.
Chiaramente, puoi scambiare anche le componenti di $f$ e ciò si fa applicando la trasformazione:
$\{(Y_1 = y_2), (Y_2 = y_1):}$
che produce $Phi(x_1, x_2) := (f_2(x_1,x_2), f_1(x_1,x_2))$ la quale ha jacobiana (verificalo!) $(((partial Phi_1)/(partial x_1), (partial Phi_1)/(partial x_2)), ((partial Phi_2)/(partial x_1), (partial Phi_2)/(partial x_2))) = (((partial f_2)/(partial x_1), (partial f_2)/(partial x_2)), ((partial f_1)/(partial x_1), (partial f_1)/(partial x_2))) = ((0,1), (1,0)) * (((partial f_1)/(partial x_1), (partial f_1)/(partial x_2)), ((partial f_2)/(partial x_1), (partial f_2)/(partial x_2)))$.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)