DUBBIO sulla dimostrazione della PERMANENZA DEL SEGNO per le successioni reali

Ciao!
La dimostrazione é effettivamente semplice poiché sfrutta la definizione di limite di successioni e quella spiegata dal professore del mio corso é questa:

Caso : $ l < +\infty $
Prendo $\epsilon \in (0,l)$ , ad esempio $\epsilon = l/2$.
Per definizione di limite:

$ \exists ñ \in \aleph : \forall n \in \aleph $ $ n>ñ$ si ha $|an - l| < \epsilon $ cioé $l - \epsilon < an < l+ \epsilon$

e questo lo dimostra poiché $l-\epsilon > 0$.

Il mio dubbio é sul perché sia possibile scegliere un $\epsilon \in (0,l)$ quando nella definizione di limite c'é scritto $\forall \epsilon > 0$.
La condizione non dovrebbe essere verificata per ogni epsilon > 0 e cioé senza "restrizioni"?
Scusate per la domanda probabilmente ingenua ma non so darmi risposta.

Che vuol dire che una condizione vale $AA epsilon >0$?

Vuol dire per ogni epsilon maggiore di 0. Ma questo non significa che dovrebbe essere vero anche per un epsilon possibilmente maggiore di l?

Vuol dire per ogni epsilon maggiore di 0.

E grazie al cavolo…

Ma questo non significa che dovrebbe essere vero anche per un epsilon possibilmente maggiore di l?

Ovvio, ma ciò non c’entra.

Facciamo un esempio classico.
“Ogni uomo è mortale” vale per ogni uomo. Che vuol dire?

Che preso un qualsiasi uomo esso é mortale?
Sicuramente sto dicendo di nuovo una cosa ovvia

Certo.
Puoi prendere un qualsiasi uomo, ad esempio Gigi Marzullo, ed affermare che “Gigi Marzullo è mortale”.
Nel tuo caso, invece di uomo = Gigi Marzullo, hai preso $epsilon = l/2$.

E, per capire l’insensatezza della tua obiezione, te la ripropongo rispetto all’esempio classico:

Il mio dubbio é sul perché sia possibile scegliere Gigi Marzullo, o una persona italiana, quando nella proprietà c'é scritto “ogni uomo”.
La condizione non dovrebbe essere verificata per ogni uomo e cioé senza "restrizioni"?

Capisci ora?

Salve.
Chiamiamo L il limite finito e supponiamolo qui positivo (analogo è il caso di L negativo).
La definizione di limite ti lascia la scelta di ε (e, per ogni scelta, avrai una determinata ñ), ma la massima ε che puoi prendere per dimostrare questo teorema è ε = L, che, applicando la definizione di limite, dà, da una certa n in poi:

 $L - L < a_n$ .

Se prendessi valori di ε più grandi non riusciresti a dimostrare la permanenza del segno, perché L -  ε sarebbe negativo. Però abbiamo appena visto che per un intorno di raggio L (e, a maggior ragione, per tutti gli intorni più piccoli) si ha, da una certa n in poi:

$0< a_n$ ,

da cui si deduce la permanenza del segno in un intorno di raggio massimo L.

Buona sera a tutti quelli che mi hanno risposto.
Penso di aver capito! Effettivamente rileggendo la definizione di limite capisco che dà la possibilità di scelta di un $\epsilon$ dato che comunque prendo un ñ che dipende da esso. (Scusate la sprecisione).
Grazie!

Grazie ren183 per la riscrittura della dimostrazione, ma il dubbio di OP non era su questo.