Dimostrare una disuguaglianza

Buonasera.
Ultimamente ho iniziato a studiare algebra lineare su un documento (rivolto ai matematici) di un docente universitario della Sapienza, questo pdf non parte subito con l'algebra lineare ma si assicura di impartire nozioni su come approcciarsi alle dimostrazioni e altre cose come ad esempio un po' di calcolo combinatorio ecc. Ho in parte svolto un esercizio ma mi sono bloccato verso la fine e vorrei sapere se ho fatto bene e avere dei chiarimenti su come procedere. L'esercizio è guidato e porta a dimostrare la seguente disuguaglianza:

$\sum_{r=1}^n \frac{1}{r!}>=(1+\frac{1}{n})^n>=(1-\frac{1}{2n})\sum_{r=0}^n \frac{1}{r!}$

la prima parte dice questo:

(1) sia $a_1$,$a_2$... una successione di numeri razionali compresi tra 0 e 1, dimostrare per induzione su r che:

$A_r: 1>=\prod_{i=1}^r (1-a_i)>=1-\sum_{i=1}^r a_i$

ho svolto questo quesito così: $A_1$ è vera, provo a ricondurmi ad $A_(r+1)$ da $a_r$ moltiplicando tutto per $1-a_(r+1)$ (che è sicuramente positivo) ottenendo che:

$1>=1-a_(r+1)>=\prod_{i=1}^(r+1) (1-a_i)>=1-\sum_{i=1}^(r+1) a_i + a_(r+1)\sum_{i=1}^r a_i>= 1-\sum_{i=1}^(r+1)a_i$

e così credo di aver fatto il primo punto (correggetemi se ho sbagliato). Il secondo chiede

(2) dedurre che per ogni $2<=r<=n"$ si ha:

$1>=\frac{r!}{n^r}((n),(r))>=1-\sum_{i=0}^(r-1)\frac{i}{n}$

e qui facendo alcuni magheggi e utilizzando la definizione di coefficiente binomiale sono arrivato alla disuguaglianza:

$1>=\prod_{i=1}^(r-1)(1-\frac{r-i}{n})>=1-\sum_{i=0}^(r-1)\frac{i}{n}$

e mi sono accorto che preso $a_i=\frac{i}{n}$ e $b_i=\frac{r-i}{n}$ dove $a_1=b_(r-1) ... a_(r-1)=b_1$ e sono due successioni di razionali sicuramente comprese fra 0 e 1, allora per il punto precedente ho dedotto la 2.

Adesso arriva la parte difficile che non riesco a fare ossia utilizzando gli sviluppi di Newton e i risultati precedenti dedurre che:

$\2+sum_{r=2}^n \frac{1}{r!}>=(1+\frac{1}{n})^n>=2+\sum_{r=2}^n\frac{1}{r!}(1-\frac{r(r-1)}{2n})$

$\sum_{r=2}^n \frac{1}{r!}>=\sum_{r=2}^n ((n),(r))\frac{1}{n^r}>=\sum_{r=2}^n\frac{1}{r!}(1-\frac{r(r-1)}{2n})$

in pratica sviluppo quel binomio e rimango fermo a questo punto e non so come continuare, come faccio?

Ciao Pietro!

Beh, se sei riuscito a dimostrare la (2) poi mi pare abbastanza semplice:

$ 1 >= ((n),(r)) \frac{r!}{n^r} >= 1-\sum_{i=0}^(r-1)\frac{i}{n} $

Dividendo per $r! $ si ha:

$ 1/(r!) >= ((n),(r)) \frac{1}{n^r} >= 1/(r!)-1/(r!)\sum_{i=0}^(r-1)\frac{i}{n} $

$ 1/(r!) >= ((n),(r)) \frac{1}{n^r} >= 1/(r!)-1/(n r!)\cdot \sum_{i=0}^(r-1) i $

$ 1/(r!) >= ((n),(r)) \frac{1}{n^r} >= 1/(r!)-1/(n r!)\cdot \frac{r(r - 1)}{2} $

$ 1/(r!) >= ((n),(r)) \frac{1}{n^r} >= 1/(r!)-1/(r!)\cdot \frac{r(r - 1)}{2n} $

A questo punto sommando per $r $ da $2 $ a $n $ si ha:

$\sum_{r=2}^n 1/(r!) >= \sum_{r=2}^n ((n),(r)) \frac{1}{n^r} >= \sum_{r=2}^n 1/(r!)(1 - \frac{r(r - 1)}{2n}) $

$\sum_{r=2}^n 1/(r!) >= (1 + 1/n)^n - 2 >= \sum_{r=2}^n 1/(r!)(1 - \frac{r(r - 1)}{2n}) $

Aggiungendo $2 $ ad ogni membro si ha proprio ciò che volevasi dimostrare:

$2 + \sum_{r=2}^n 1/(r!) >= (1 + 1/n)^n >= 2 + \sum_{r=2}^n 1/(r!)(1 - \frac{r(r - 1)}{2n}) $

Grazie della risposta Pilloeffe! Avevo notato una certa somiglianza tra gli argomenti della sommatoria e i membri della 2 ma non ero sicuro si potesse applicare la sommatoria così come se nulla fosse, studiando da autodidatta certe cose banali mi sfuggono