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Leggendo alcune dispense di termodinamica mi sono imbattuto in un concetto che non mi è chiarissimo, ossia il differenziale non esatto.

Cercando di capirci di più ho approfondito ma sono un po' bloccato.

Quello che vorrei chiedere è quanto segue:

il differenziale è per definizione: $f(x+h)-f(x)=f'(x)h+o(h), h->0$
ove ho sfruttato il teorema del differenziale $f(x+h)-f(x)=c*h+o(h), h->0; c=f'(x)$

Mi chiedevo se un differenziale non esatto, approssimando e "non considerando" l' o-piccolo come spesso si fa in fisica si potesse scrivere come: $f(x+h)-f(x)=m*h$ ove $m$, in tal caso, non è f'(x) poiché la non esattezza implica che non esista la funzione f differenziabile.

Insomma osso comunque scrivere f(x+h)-f(x)=(qualcosa)*h,approssimando? O è una scrittura non fattibile in tal caso (in quanto non esatto?)

Grazie

Il concetto non ti è chiaro perché non ti è stato descritto in maniera sensata. Il punto è che una \(1\)-forma differenziale è esatta se è il differenziale di una funzione. Per capire a fondo questo aspetto si dovrebbe capire cosa sia una forma differenziale, che è poi quello che mi sembra tu non abbia capito.

Insomma, il punto è appunto che una forma differenziale non esatta non può essere scritta in quella forma, è esattamente ciò che la rende non esatta.

Il concetto di forma differenziale non è esattamente semplice e si può fare in molti modi. Puoi riportare quello che viene detto nelle dispense per capire come possiamo aiutarti a capire quel passaggio o trovare una qualche dispensa che sia al livello che ti serva?

Ciao e grazie della risposta.

In effetti leggevo non essere esatto in quanto non esiste la scrittura $f(x+h)-f(x)=f'(x)*h$, non potendo scriversi f'(x)*h, però mi chiedevo se potessi approssimare in qualche modo f(x+h)-f(x) con una m t.c: $f(x+h)-f(x)=m*h$

Mi pare di capire di no, giusto? Mi sarebbe piaciuto capire perché tale m non esiste

Nella dispensa dice solo non essere esatto, non molto di più: considera che è di un corso diverso dalla analisi ma solo termodinamica (penso sia dato per assodato, o comunque da chiarire in altra sede).

Consideriamo la dimensione \(2\). Una \(1\)-forma differenziale in \(\mathbb{R}^2\) ha la forma \(\omega = A(x,y)\,\mathrm{d}x + B(x,y)\,\mathrm{d}y\). Le funzioni \(A\) e \(B\) sono generalmente richieste sufficientemente differenziabili (ma per i nostri scopri diciamo che sono almeno \(C^1\)).

Chiedersi se è esatta equivale a chiedere che esista una funzione \(\displaystyle Q\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R} \) tale che \(\displaystyle A = \frac{\partial Q}{\partial x} \) e \(\displaystyle B = \frac{\partial Q}{\partial y} \). Se le funzioni sono sufficientemente differenziabili, allora questo equivale a richiedere che \(\displaystyle \frac{\partial A}{\partial y} = \frac{\partial B}{\partial x} \). È evidente che in dimensione \(2\) non tutte le forme siano esatte.

Per la dimensione \(1\), una \(1\)-forma ha la forma \(g(x)\,\mathrm{d}x\) ed è esatta se esiste una funzione tale che \(\displaystyle \frac{df}{dx} = g\). Se la funzione \(g\) è \(C^1\), o anche solo \(C^0\), dovresti riuscire ad analizzare la situazione con i risultati di analisi 1.

Ladefinizione che mi hai scritto è proprio quellache ho trovato in rete cercando di approfondire (erano dispense di analisi di la sapienza). però mi sa che devo essermi spiegato male sul dubbio, oppure, come penso c'è qualcosa che mi sfugge ed è così stupido da non fartelo nemmeno capire.

Dopo la tua bella risposta che ha chiarito e riassestatole idee devo dire che la forma è esatta (1-D) se: $(df)/(dx)=g$ esiste e posso scrivere: $g(x)dx$, perfetto.In generale per gli usi fisici serve per approssimare con la "retta tangente" una variazione di una funzione: scrivo cioè $f(x)-f(x_0)=g(x)dx$ ove g(x) è la derivatadella funzione.

Mi chiedevo se anche con una formanon esatta, quindi ove non esiste $(df)/(dx)=g$ ma esiste un'altra g(x) che mi permette comunque una srittura approssimata del tipo: $f(x)-f(x_0)=g(x)dx$. Oppure se non esiste g(x) come derivata non esiste alcuna altra g(x) che assolva a quella funzione.

Spero di aver chiarito meglio
Grazie mille vict

Quella che non esiste è \(f\) (come funzione). D'altra parte, per la dimensione 1, è molto difficile avere forme non esatte. Infatti, se la funzione \(g\) è continua, il problema in questione viene risolto dal teorema fondamentale del calcolo integrale. Quindi, a meno che tu non stia considerando funzioni non continue, ti suggerisco di ragionare in termini di dimensione superiore a 1.

Ahhh giusto, perché deve esistere f (per cui valga la proprietà sulla derivata) per essere esatta. Tuttavia se non è esatta non esiste f, quindi perde anche senso scrivere f(x)-f(x0) non esistendo.

Era questo che cercavi di dirmi Ora dovrei esserci!

Grazie mille

bmabs ha scritto:Ahhh giusto, perché deve esistere f (per cui valga la proprietà sulla derivata) per essere esatta. Tuttavia se non è esatta non esiste f, quindi perde anche senso scrivere f(x)-f(x0) non esistendo.

Era questo che cercavi di dirmi Ora dovrei esserci!

Grazie mille

Tieni conto che il concetto di forma esatta o non esatta viene principalmente usato quando si integra la forma. A quel punto, se la forma è esatta l'integrale dipende solo dal valore di una funzione nei punti di partenza e arrivo, mentre se la forma non è esatta l'integrale dipende dall'intero percorso.

Più che altro quello che mi confonde è una scrittura che si usa in termodinamica dove si dice che:

$dQ=dU+p*dV$ e dice che dQ è differenziale non esatto. Ma a conti fatti il termine differenziale si usa solo quando ho una forma differenziale esatta. Cosa vuol dire differenziale non esatto? In realtà Q come funzione non dovrebbe proprio esistere (per quanto dicevamo sopra), esiste la forma: $\omega=dU+p*dV$, ma non $dQ$ perché quella scrittura vuol dire "differenziale di Q" e non esiste una forma che approssimi $Q(x+h)-Q$ (abuso di notazione) perché automaticamente sarebbe una forma esatta

PS: https://it.wikipedia.org/wiki/Differenz ... modinamica

Infatti, se ricordo bene, si usa $delta Q$, non $text(d)Q$.

A parte il gioco di simboli, l’idea è che per trovate la quantità di calore scambiata lungo una trasformazione devi integrare una forma differenziale $C_v text(d) T + p text(d) V$, la quale non è un differenziale esatto (perché la quantità di calore scambiata in una trasformazione dipende dalla trasformazione e non solo dagli stati iniziale e finale del sistema). Allora, per ovvie ragioni mnemoniche (difatti, cosa c’è di più semplice ed immediato di $Q = int text(d) Q$?), è chiaro che in Fisica si preferisca chiamare “differenziale” anche qualcosa che un differenziale non è.