Dubbio sull' epsilon delta nei limiti (pt2)
Inviato: 22/11/2019, 17:19
Ciao,
apro su suggerimento di @gugo82 una nuova discussione riguardo il dubbio di cui avevo parlato nella discussione https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 6&t=194300
Il teorema è sui limiti in più variabili:
Teorema:
Sia $F=(f_1,...,f_m)$ una funzione devinita su A contenuto in $R^n$ a valori in $R^m$, e sia $x'$ punto di accumulazione di A. Allora
$lim_(x->x')F(x)=l=(l1,...,l_m)$ se esolo se per ogni i= 1,...,m $lim x->x'f_i(x)=l_i$
Il dubbio è solo sulla (<=)
SUpponiamo che ogni $f_i$ tenda a $l_i$ per x tendente a x'. Dato $\epsilon>0$ sia $\delta_i>0$ t.c.
$x\inA\{x'}$, $||x-x'||<\delta_i => |f_i(x)-l_i|<\epsilon$
Preso $delta=min{\delta_i}$, si ha per $x\inA\{x'}$ , con $||x-x'||<\delta$;
$||F(x)-l||^2=(f_1(x)-l_1)^2+...<\epsilon^2+...+\epsilon^2=m\epsilon^2=m\epsilon^2$
Ossia: $||F(x)-l||<\sqrtm*\epsilon$ e dalla scelta arbitraria di epsilon segue la tesi.
Mi sembra quindi di partire, come dicevo nella discussione del link, da una epsilon e finire con una epsilon più grande dell'iniziale.
apro su suggerimento di @gugo82 una nuova discussione riguardo il dubbio di cui avevo parlato nella discussione https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 6&t=194300
Il teorema è sui limiti in più variabili:
Teorema:
Sia $F=(f_1,...,f_m)$ una funzione devinita su A contenuto in $R^n$ a valori in $R^m$, e sia $x'$ punto di accumulazione di A. Allora
$lim_(x->x')F(x)=l=(l1,...,l_m)$ se esolo se per ogni i= 1,...,m $lim x->x'f_i(x)=l_i$
Il dubbio è solo sulla (<=)
SUpponiamo che ogni $f_i$ tenda a $l_i$ per x tendente a x'. Dato $\epsilon>0$ sia $\delta_i>0$ t.c.
$x\inA\{x'}$, $||x-x'||<\delta_i => |f_i(x)-l_i|<\epsilon$
Preso $delta=min{\delta_i}$, si ha per $x\inA\{x'}$ , con $||x-x'||<\delta$;
$||F(x)-l||^2=(f_1(x)-l_1)^2+...<\epsilon^2+...+\epsilon^2=m\epsilon^2=m\epsilon^2$
Ossia: $||F(x)-l||<\sqrtm*\epsilon$ e dalla scelta arbitraria di epsilon segue la tesi.
Mi sembra quindi di partire, come dicevo nella discussione del link, da una epsilon e finire con una epsilon più grande dell'iniziale.