Dubbio sull' epsilon delta nei limiti (pt2)

[gugo82]

Non capisco l’obiezione.

[urca]

No non era un'obiezione alla tua dimostrazione che per me è un ipse dixit , era per capire se ho interpretato bene il passaggio logico. Il gioco è non tenere fisso $sigma$ ma dire per ogni sigma ho comunque un $c*sigma$ percui vale...

In altre parole:
$forall \sigma > 0$ trovo $c*sigma$ 1)

Quindi
$forall \c*sigma > 0,\ \exists \rho > 0:\quad 0<|x - x_0|<\rho \Rightarrow |f(x) - l| <\c\sigma$ 2)

In definitiva unendo 1), 2): $forall \sigma > 0,\ \exists \rho > 0:\quad 0<|x - x_0|<\rho \Rightarrow |f(x) - l| <\c\sigma$

E' questo il gioco che si nasconde dietro a quel passaggio?

[gugo82]

Sì.

[urca]

Ti ringrazio molto per il tuo tempo!

Comunque sì, il problema era proprio qui

Scelto $sigma >0$, in corrispondenza del numero $epsilon := c sigma >0$ per ipotesi esiste un $delta = delta_epsilon = delta_(c sigma) >0$ tale che:
\[
0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| <\varepsilon = c \sigma \;;
\]
quindi la tesi è verificata prendendo $rho=rho_sigma=delta_(c sigma)$. Vista l’arbitrarietà nella scelta di $sigma$, abbiamo la tesi.

mi ero persuaso che preso un sigma dovessi avere un delta dipendente da quel sigma inteso come soluzione della $|f(x)-l|<sigma$ non accorgendomi che la richiesta è che esista un delta che ne dipenda in generale, quindi dato che $sigma<=>c\sigma=>\delta_(c\sigma)$ che a conti fatti dipende comunque da sigma.
In generale basta trovare un $delta_(f(sigma))$ dalla $|f(x)-l|<f(sigma)$