Si, e' un bel giochino.
Si potrebbe iniziare osservando che $n \in 2\ZZ$.
Se cosi' non fosse si avrebbe che che \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \] e\[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty \] o viceversa.
A questo punto si puo' considerare $f(x)$ come prodotto di polinomi di grado pari: \[ f(x) = \prod_i (x^2 + b_i x + c_i) \].
Il fatto che i singoli polinomi siano normalizzati non fa perdere di generalita' in quanto anche $f(x)/k$ deve verificare la tesi.
Per verificare la tesi deve essere altresi' che \[ \forall i\ \forall x:\ (x^2 + b_i x + c_i) \ge 0 \]
Ora si vuole dimostrare l'enunciato per il singolo polinomio quadratico $x^2+bx+c$.
Per avere $x^2+bx+c \ge 0$ deve essere che il discriminante $\Delta = b^2 -4c \le 0$ (1)
Esplicitando la somma delle derivate del polinomio quadratico si ha
\[ \sum_{k=0}^n f^{(k)}(x) = x^2 + bx + c + 2x + b +2 = x^2 + (b+2)x + b+c+2 \]
Per avere \[x^2 + (b+2)x + b+c+2 \ge 0\]
deve verificarsi che
\[ \Delta = (b+2)^2 -4 (b+c+2) \le 0 \]
ovvero
\[ b^2 - 4c -4 < 0 \]
In base alla (1) si verifica immediatamente che il singolo polinomio quadratico verifica l'enunciato.
Adesso, avendo dimostrato il caso $n=2$ si potrebbe procedere per induzione verificando che se
$g(x)$ verifica l'enunciato anche $f(x)g(x)$ con $f(x)$ quadratico verifica l'enunciato.
Ma come ?
PS.
Dici che si vede abbastanza bene dal punto di vista grafico, ma non ne sarei cosi' sicuro...