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Salve a tutti, sto appena introducendo qualche nozione di superfice in $ R^3$ però ho delle difficoltà a capire la parametrizzazione.
una $r(u, v)$ che parametrizza una superfice contenuta in $ A sube R^2$ è scritta in forma vettoriale con l'utilizzo dei versori in questa forma:

$ r(u,v) = x(u,v)i + y(u,v)j + z(u,v)k $

Ora per quanto riguardavano le curve mi era abbastanza chiaro il concetto di paramettrizzazione e di come variavano le componenti, però adesso non mi è molto chiaro perché ho bisogno di una funzione di due varibili, mentre per le curve ad esempio avevo solo un raggio vettore che dipendeva da un parametro, ad esempio $r(t) = ( x(t) , y(t) , z(t) ) $
Qualcuno così gentile che mi può chiarire questo concetto, anche perchè per me è importante anche l'aspetto "grafico" o geometrico. Grazie a tutti

A livello intuitivo la logica e' abbastanza semplice:
Curve UNIdimensionali ($\in R$) sono descritte da un parametro, es:
$\gamma(t) = x(t)\bb i + y(t) \bb j + z(t) \bb k$

Curve BIdimensionali ($\in R^2$) sono descritte da due parametri e cosi' via.

Cosa c'e' che non ti convince ?

Quinzio ha scritto:A livello intuitivo la logica e' abbastanza semplice:
Curve UNIdimensionali ($\in R$) sono descritte da un parametro, es:
$\gamma(t) = x(t)\bb i + y(t) \bb j + z(t) \bb k$

Curve BIdimensionali ($\in R^2$) sono descritte da due parametri e cosi' via.

Cosa c'e' che non ti convince ?

Cioè per descrivere la superfice ho bisogno di due parametri quindi ad esempio $ u$ e $v $ quindi il dominio in ogni caso è una regione del piano.. in questo modo però la superfice non è sempre descritta in modo puntuale, non bastava cioè un solo parametro, questo non ho ben chiaro, c'entra qualcosa l'elemento d'area $dS$ ?

Comunque non sono regioni del piano, sono superfici in $R^3$.
Pero' sono isomorfe al piano $xy$ (credo che si dica cosi', chiedo venia non sono un matematico).
Se sono isomorfe al piano $xy$, avrai bisogno di 2 parametri per descrivere un punto. Ti torna ?

Si però non riesco a farmi un'idea sul concetto, con le curve mi era molto più chiaro e intuitivo, qua invece faccio molta più fatica. Ti ringrazio per adesso, magari per qualche altra domanda la posterò stesso in questo post. Saluti

Ciao! Secondo me l'idea che hai in mente è corretta: non so che definizione tu abbia di superficie in $RR^3$, però intuitivamente una superficie è qualcosa che, localmente, è omeomorfa ad un aperto del piano $RR^2$. Questo vuol dire che se prendi un punto sulla superficie, hai un suo intorno che in un certo senso assomiglia abbastanza al piano. Perciò, poiché per descrivere dove si trova un punto nel piano ti servono due coordinate, così per descrivere un punto sulla superficie te ne servono sempre due. Per immaginare come lavorano i parametri $(u,v)$ puoi pensare di fissarne uno, che chiami $\bar{u}$: a questo punto $r(\bar{u},v)$ descriverà una curva sulla superficie, dato che ora è solo il secondo parametro a variare. Ora fissi un nuovo parametro $\bar{\bar{u}}$ e costruisci una nuova curva, e così via. Allo stesso modo puoi fissare, invece che il primo, il secondo parametro e costruirai delle altre curve della superficie. Ora immagina cosa succede se li facciamo variare contemporaneamente.

Per esempio pensiamo alla sfera di raggio unitario $S^2$, che è una superficie: come facciamo a descrivere dove si trovano i suoi punti? Poiché il raggio è fissato, scegliamo di usare i due angoli che descrivono longitudine e latitudine. Questi sono esattamente i due parametri di cui si parla sopra.
Una possibile parametrizzazione locale è quindi:

$r(u,v)=(cos(u)sin(v), sin(u)sin(v), cos(v))$ con $0<u<2\pi$ e $0<v<\pi$.

Se fissiamo $\bar{u}=\pi$ abbiamo $r(\pi,v)=(cos(\pi)sin(v), sin(\pi)sin(v), cos(v))=(-sin(v),0, cos(v))$.

Questa è una curva che descrive un meridiano, se avessimo fissato il secondo parametro avremmo ottenuto un parallelo. Allora usandoli contemporaneamente possiamo pensare di descrivere una sfera.

Alino ha scritto:Ciao! Secondo me l'idea che hai in mente è corretta: non so che definizione tu abbia di superficie in $RR^3$, però intuitivamente una superficie è qualcosa che, localmente, è omeomorfa ad un aperto del piano $RR^2$. Questo vuol dire che se prendi un punto sulla superficie, hai un suo intorno che in un certo senso assomiglia abbastanza al piano. Perciò, poiché per descrivere dove si trova un punto nel piano ti servono due coordinate, così per descrivere un punto sulla superficie te ne servono sempre due. Per immaginare come lavorano i parametri $(u,v)$ puoi pensare di fissarne uno, che chiami $\bar{u}$: a questo punto $r(\bar{u},v)$ descriverà una curva sulla superficie, dato che ora è solo il secondo parametro a variare. Ora fissi un nuovo parametro $\bar{\bar{u}}$ e costruisci una nuova curva, e così via. Allo stesso modo puoi fissare, invece che il primo, il secondo parametro e costruirai delle altre curve della superficie. Ora immagina cosa succede se li facciamo variare contemporaneamente.

Per esempio pensiamo alla sfera di raggio unitario $S^2$, che è una superficie: come facciamo a descrivere dove si trovano i suoi punti? Poiché il raggio è fissato, scegliamo di usare i due angoli che descrivono longitudine e latitudine. Questi sono esattamente i due parametri di cui si parla sopra.
Una possibile parametrizzazione locale è quindi:

$r(u,v)=(cos(u)sin(v), sin(u)sin(v), cos(v))$ con $0<u<2\pi$ e $0<v<\pi$.

Se fissiamo $\bar{u}=\pi$ abbiamo $r(\pi,v)=(cos(\pi)sin(v), sin(\pi)sin(v), cos(v))=(-sin(v),0, cos(v))$.

Questa è una curva che descrive un meridiano, se avessimo fissato il secondo parametro avremmo ottenuto un parallelo. Allora usandoli contemporaneamente possiamo pensare di descrivere una sfera.

Ciao ti ringrazio per la spiegazione molto accurata. Stavo cercando di farmi un'idea su questi concetti perché all'esame devo portare gli integrali di superfice e annessi flussi, se non riesco a capire qua non riesco ad andare avanti più di tanto, perciò cercavo di prendere come riferimento l'elemento di Area $dS$, Diciamo che piano piano sto cominciando a comprendere meglio. Il discorso di fissare un valore di $(u, v)$ ad esempio$ v0$ permette di ricavare una curva sulla superfice, sul libro che sto utilizzando porta "linea coordinata", quindi la superfice è descritta dall'insieme di tutte le linee coordinate rispetto a $u$ fissato $v0$ e da tutte quelle rispetto a $v$ fissato $u0$ ?

Diciamo di sì, io ho solo dato una idea intuitiva di quello che succede. Non prenderla come definizione formale. Che definizione hai tu di superficie?

Alino ha scritto:Diciamo di sì, io ho solo dato una idea intuitiva di quello che succede. Non prenderla come definizione formale. Che definizione hai tu di superficie?

Il libro parte direttamente con le superfici in forma parametrica, alcuni accenni sulla forma cartesiana.

Purtroppo non posso perdere moltissimo tempo con la teoria, volevo raggruppare tutti questi concetti per partire direttamente con gli integrali altrimenti non finisco mai.

la definizione che riporta il libro e che spiega anche il prof. è questa :

$ r : A sube R^2 -> R^3 $ con $r = (x,y,z) e $

$ { ( x = x(u,v) ),( y=y(u,v) ),( z = z(u,v) ):} $

dove $A$ è un opportuna regione del piano di $R^2$

Salve riscrivo qui perché mi ricollego alla superfice parametrica, in particolare all'elemento di area $dS = || ru ^^ rv || dudv $ dove $ru$ e $rv$ sono i vettori riferiti agli incrementi $du$ e $dv$
Quindi il prodotto vettoriale tra i due vettori rappresenta l'area dS infinitesima, l'integrale quindi è la sommatoria di tutte le aree infinitesime e fin qui ci sono. Però non ho capito perché nella formula si inserisce anche $du $e $dv$ cioè se ho già la superfice data dal prodotto vettoriale perché ho bisogno anche dei differenziali? Non so se mi sono espresso bene.. scusate per i pedici ma non sapevo come inserirli