Matematicamente.it

Buonasera,
ho qualche problema a calcolare questi limiti:
1)$ lim_(x -> +oo) (log((xe^x+x^3)/(x+1)))/x $
2)$ lim_(x -> 0^+) (1/(1+x^2e^(1/x))) $
L'unica soluzione, un po' drastica, che mi viene in mente per risolvere il primo esercizio è usare de l'Hopital, ma sicuramente ci sarà qualche metodo più veloce.

Inoltre, avrei una domanda sugli o-piccoli: l'equivalenza
$ e^(1/x)=1 + 1/x + o(1/x) $
è incorretta perché il risultato del seguente limite è $ +oo $, e non $ 0 $, giusto ?
$ lim_(x -> 0^+)((e^(1/x)-1)/(1/x)) $
$ y = 1/x $
$ lim_(y -> +infty)((e^(y)-1)/(y)) = +oo $

Ciao!
Dalla seconda domanda sembra che tu conosca gli sviluppi di Taylor, perciò un modo più veloce per calcolare il primo limite è: applicare le proprietà dei logaritmi scrivendo $\ln\left(\frac{xe^x+x^3}{x+1}\right)=\ln(xe^x+x^3)-\ln(x+1)$, raccogliere i termini "dominanti" e applicare gli sviluppi di Taylor.
O ancora meglio (se hai occhio) raccogliere subito chi domina in $\frac{xe^x+x^3}{x+1}$ senza neanche applicare le proprietà dei logaritmi.
Per il secondo limite è sufficiente capire come si comporta $x^2e^{\frac{1}{x}}$ quando $x\to0^+$, idee tue?
Per quanto riguarda gli $\text{o}$-piccoli, l'uguaglianza $e^{f(t)}=1+f(t)+\text{o}\left(f(t)\right)$ vale se $f(t)->0$ per $t->t_0$; $t_0$ è il generico valore a cui tende la variabile che stai mandando al limite, è questo il caso?
Comunque confermo, col cambio di variabile che hai fatto si vede chiaramente che l'ultimo limite proposto è $+\infty$.

Mephlip ha scritto:Ciao!
Dalla seconda domanda sembra che tu conosca gli sviluppi di Taylor

Non ho ancora visto gli sviluppi di Taylor, però usando la proprietà dei logaritmi che hai scritto, potrei semplificare in parte il limite:
$ lim_(x -> +oo) ln(xe^x+x^3)/x-lim_(x -> +oo)ln(x+1)/x $
$ lim_(x -> +oo) ln(xe^x+x^3)/x-0$
Però, da qua non riesco comunque ad andare avanti.

Mephlip ha scritto:Ciao!
Per il secondo limite è sufficiente capire come si comporta $x^2e^(1/x)$, idee tue?

$ y = 1/x $
$ lim_(x -> +oo)(e^y/y^2) = +oo $
L'esponenziale cresce più velocemente, quindi il risultato dell'intero limite è 0.

Mephlip ha scritto: è questo il caso?

No.

Occhio a spezzare i limiti, i teoremi sulla somma algebrica dei limiti valgono solo se non ci sono forme indeterminate di mezzo; quindi devi portarti tutto dietro in un unico limite.
Comunque nell'argomento di $\ln(xe^x+x^3)$ il termine dominante per $x\to+\infty$ è $xe^x$, perciò prova a scrivere $\ln(xe^x+x^3)=\ln\left(xe^x(1+\frac{x^3}{xe^x}\right)\right)$.
Analogamente, nell'argomento di $\ln(x+1)$ il termine dominante per $x\to+\infty$ è $x$ e dunque prova a scrivere $\ln(x+1)=\ln\left(x(1+\frac{1}{x})\right)$.
Perciò hai
$$\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln\left(xe^x\left(1+\frac{x^3}{xe^x}\right)\right)-\ln\left(x\left(1+\frac{1}{x}\right)\right)}{x}$$
Prova ad applicare nuovamente le proprietà dei logaritmi e, dopo averlo fatto, raccogli chi domina.

Matteo3213d ha scritto:$ y = 1/x $
$ lim_(x -> +oo)(e^y/y^2) = +oo $
L'esponenziale cresce più velocemente, quindi il risultato dell'intero limite è 0.

Esatto!

Matteo3213d ha scritto:No.

Corretto, $e^{\frac{1}{x}}$ non tende a $0$ per $x\to0^+$.

Mephlip ha scritto:Prova ad applicare nuovamente le proprietà dei logaritmi e, dopo averlo fatto, raccogli chi domina.

Intendi così?
$ lim_(x -> +oo)ln((xe^x(1+x^2/e^x))/(x(1+1/x)))/(x) $

$ lim_(x -> +oo)ln((e^x(1+x^2/e^x))/(1+1/x))/(x) $

Matteo3213d ha scritto:L'unica soluzione, un po' drastica, che mi viene in mente per risolvere il primo esercizio è usare de l'Hopital

Beh, sicuramente con de l'Hopital si risolve velocemente. Un altro modo abbastanza veloce è raccogliere $x $ a numeratore e a denominatore dell'argomento del logaritmo e poi usare gli sviluppi asintotici:

$ \lim_{x \to +\infty} (log((xe^x+x^3)/(x+1)))/x = \lim_{x \to +\infty} (log((e^x+x^2)/(1+1/x)))/x = \lim_{x \to +\infty} (log(e^x))/x = \lim_{x \to +\infty} (x log(e))/x = 1 $