Estremi relativi (Esercizio analisi II)
Inviato: 06/12/2019, 20:28
Salve a tutti!
Mi servirebbe un aiuto col seguente esercizio:
Quello che ho fatto io intanto è dividere la ricerca dei punti stazionari di $f$ nei casi $xy>0, xy<0$ e poi studiare a parte i punti del cambiamento di legge $\overline{x}\cdot \overline{y}=0$.
Ho problemi sin dall'inizio, perché appena mi metto alla ricerca di punti stazionari nel primo caso $xy>0$, ottengo un sistema di equazioni antipatico:
\[
\begin{aligned}
\begin{cases} f_x(x,y)=0 \\ f_y(x,y)=0 \end{cases}
\end{aligned}
\quad \implies \quad
\begin{aligned}
\begin{cases}4x^3-2xy^2-3x^2y+y^3=0 \\ -2x^2y-x^3+3xy^2=0 \end{cases}
\end{aligned}
\]
L'unica cosa che son riuscito a fare è raccogliere la $x$ nella seconda equazione e procedere con la legge di annullamento del prodotto e, da una parte ottengo la soluzione $(0,0)$ che devo scartare in quanto per ora sono nel caso $xy>0$, ma dall'altra parte rimane un sistema comunque antipatico...
\begin{cases} 4x^3-2xy^2-3x^2y+y^3=0 \\x^2+2xy-3y^2=0\end{cases}
In un tentativo disperato ho provato ad esplicitare la $x$ dalla seconda equazione, ma non credo sia la cosa giusta da fare.
Ho sbagliato in partenza l'approccio all'esercizio? Se no... come affronto questo sistema?
Mi servirebbe un aiuto col seguente esercizio:
Determinare gli eventuali punti di massimo e di minimo relativo della seguente funzione reale di due variabili reali:
$$f(x,y)=(x^2−|xy|)(x^2−y^2)$$
Quello che ho fatto io intanto è dividere la ricerca dei punti stazionari di $f$ nei casi $xy>0, xy<0$ e poi studiare a parte i punti del cambiamento di legge $\overline{x}\cdot \overline{y}=0$.
Ho problemi sin dall'inizio, perché appena mi metto alla ricerca di punti stazionari nel primo caso $xy>0$, ottengo un sistema di equazioni antipatico:
\[
\begin{aligned}
\begin{cases} f_x(x,y)=0 \\ f_y(x,y)=0 \end{cases}
\end{aligned}
\quad \implies \quad
\begin{aligned}
\begin{cases}4x^3-2xy^2-3x^2y+y^3=0 \\ -2x^2y-x^3+3xy^2=0 \end{cases}
\end{aligned}
\]
L'unica cosa che son riuscito a fare è raccogliere la $x$ nella seconda equazione e procedere con la legge di annullamento del prodotto e, da una parte ottengo la soluzione $(0,0)$ che devo scartare in quanto per ora sono nel caso $xy>0$, ma dall'altra parte rimane un sistema comunque antipatico...
\begin{cases} 4x^3-2xy^2-3x^2y+y^3=0 \\x^2+2xy-3y^2=0\end{cases}
In un tentativo disperato ho provato ad esplicitare la $x$ dalla seconda equazione, ma non credo sia la cosa giusta da fare.
Ho sbagliato in partenza l'approccio all'esercizio? Se no... come affronto questo sistema?