Alino ha scritto:Ora:
$ \lim_{n \to +\infty}nln((n^2-n-1)/(n^2+1))= \lim_{n \to +\infty}nln(1-(n+2)/(n^2+1))=$
Riprendo da dove sei arrivato:
$ \lim_{n \to +\infty} n ln(1-(n+2)/(n^2+1)) = \lim_{n \to +\infty} ln(1-(n+2)/(n^2+1))/(-(n+2)/(n^2+1)) \cdot (-(n^2+2n)/(n^2+1)) = 1 \cdot (- 1) = - 1 $
ove si è fatto uso del ben noto limite notevole del logaritmo.
Facendo poi riferimento al solo primo addendo del limite iniziale proposto, si ha:
$\lim_{n \to +\infty} ((n^2-n-1)/(n^2+1))^n = \lim_{n \to +\infty} ((n^2 + 1 - n - 2)/(n^2+1))^n = \lim_{n \to +\infty} (1 - (n + 2)/(n^2+1))^n = $
$ = \lim_{n \to +\infty} (1 + 1/(-(n^2+1)/(n + 2)))^n = \lim_{n \to +\infty} [(1 + 1/(-(n^2+1)/(n + 2)))^{-(n^2+1)/(n + 2)}]^{-(n^2 + 2n)/(n^2+1)} = e^{- 1} = 1/e $
ove si è fatto uso del ben noto limite notevole talvolta chiamato di Nepero, anche se in realtà $e $ era già nota ad Eulero (ed il fatto che sia denominata $e $ qualche indizio in tal senso dovrebbe pur darlo...
).
A questo punto ricominciamo da capo:
$\lim_{n \to +\infty} ((n^2-n-1)/(n^2+1))^n = \lim_{n \to +\infty} ((n^2-(n+1))/(n^2+1))^n $
E' evidente che se $n \to +\infty $ i contributi dei due $1$ a numeratore e a denominatore sono trascurabili rispetto a $ n $ e a maggior ragione a $n^2$ (se vuoi convincertene meglio puoi anche raccogliere $n^2 $ al numeratore e al denominatore), quindi si può scrivere:
$ \lim_{n \to +\infty} ((n^2-(n+1))/(n^2+1))^n = \lim_{n \to +\infty} ((n^2-n)/(n^2))^n = \lim_{n \to +\infty} (1 - 1/n)^n = \lim_{n \to +\infty} [(1 - 1/n)^{- n}]^{- 1} = e^{- 1} = 1/e $
ove si è fatto ancora uso del ben noto limite notevole talvolta chiamato di Nepero già menzionato. Come vedi, comunque la si giri il risultato del limite è $e^-1 = 1/e $. Lascio a te per esercizio l'altra strada, cioè fare uso della tua proposta di soluzione che ho completato poco sopra unita al trascurare i contributi dei due $1$ a numeratore e a denominatore di cui ha scritto Matteo3231d: naturalmente otterrai lo stesso risultato.