Estremi in un insieme (funzione a due variabili)
Inviato: 11/12/2019, 18:45
Determinare gli estremi della funzione \(\displaystyle f(x,y) = x^2y \) in \(\displaystyle Z = \left \{ x^2+y^2 = 1 \right \}
\)
1) Cerco tutti quei punti in cui il gradiente si annulla e che allo stesso tempo appartengono a Z
\(\displaystyle
\left\{\begin{matrix}
f_x = 2xy
\\
f_y = x^2
\end{matrix}\right.
\Rightarrow
(0,0) \notin Z \)
dunque non considero il punto (0,0)
2) Cerco tutti quei punti di non differenziabilità
\(\displaystyle f(x,y) \) è differenziabile ovunque, dunque non ci sono punti da considerare
3) Punti critici sulla frontiera
\(\displaystyle \partial Z = \left \{x^2+y^2 = 1 \right \} \)
esplicito rispetto a x
\(\displaystyle
x^2 = 1-y^2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{1-y^2} \) che ha senso per \(\displaystyle y \in [-1,1] \)
allora la funzione sulla frontiera di Z diventa in funzione di y
\(\displaystyle
g(y) = (1-y^2)y = y-y^3 \)
la cui derivata \(\displaystyle g'(y) \) si annulla in \(\displaystyle y = \frac{1}{\sqrt{3}} \in [-1,1] \)
Valuto allora g(y) nei seguenti valori di y:
\(\displaystyle g \left ( \frac{1}{\sqrt{3}} \right ) = \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}^3} \)
\(\displaystyle g(1) = 0 \)
\(\displaystyle g(-1) = 0 \)
I punti sono dunque \(\displaystyle (0,1) \) \(\displaystyle (0,-1) \) e \(\displaystyle
\left (
\frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}^3}, \frac{1}{\sqrt{3}}
\right )
\)
Ma quando disegno la funzione con la relativa frontiera su Geogebra non mi trovo con il risultato ottenuto
Cosa ho sbagliato?
Grazie in anticipo!
\)
1) Cerco tutti quei punti in cui il gradiente si annulla e che allo stesso tempo appartengono a Z
\(\displaystyle
\left\{\begin{matrix}
f_x = 2xy
\\
f_y = x^2
\end{matrix}\right.
\Rightarrow
(0,0) \notin Z \)
dunque non considero il punto (0,0)
2) Cerco tutti quei punti di non differenziabilità
\(\displaystyle f(x,y) \) è differenziabile ovunque, dunque non ci sono punti da considerare
3) Punti critici sulla frontiera
\(\displaystyle \partial Z = \left \{x^2+y^2 = 1 \right \} \)
esplicito rispetto a x
\(\displaystyle
x^2 = 1-y^2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{1-y^2} \) che ha senso per \(\displaystyle y \in [-1,1] \)
allora la funzione sulla frontiera di Z diventa in funzione di y
\(\displaystyle
g(y) = (1-y^2)y = y-y^3 \)
la cui derivata \(\displaystyle g'(y) \) si annulla in \(\displaystyle y = \frac{1}{\sqrt{3}} \in [-1,1] \)
Valuto allora g(y) nei seguenti valori di y:
\(\displaystyle g \left ( \frac{1}{\sqrt{3}} \right ) = \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}^3} \)
\(\displaystyle g(1) = 0 \)
\(\displaystyle g(-1) = 0 \)
I punti sono dunque \(\displaystyle (0,1) \) \(\displaystyle (0,-1) \) e \(\displaystyle
\left (
\frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}^3}, \frac{1}{\sqrt{3}}
\right )
\)
Ma quando disegno la funzione con la relativa frontiera su Geogebra non mi trovo con il risultato ottenuto
Cosa ho sbagliato?
Grazie in anticipo!