Una disuguaglianza

farei così:

1) se $a<b$ riscrivo la cosa così

$((b-a)/2)^n<=a^n+b^n$

dato che $(b-a)/2<=b$ varrà anche $((b-a)/2)^n<=b^n$ ed a maggior ragione varrà anche la disuguaglianza proposta, essendo $a^n>=0$

2) se $a>b$ stessa cosa...dato che $(a-b)/2<=a$ ecc ecc

3) se $a=b$ è ovvio.

Sarà poco elegante ma...per $a>=b$ pongo $k=a-b rArr a=k+b$
Sostituendo $k^n<=2^n[(k+b)^n+b^n]$ da cui, sviluppando, si ottiene $k^n(2^n-1)+P>=0$
dove $P>=0$ mi risparmia di scrivere la sommatoria di tutti i prodotti interni + $2b^n$
Il primo membro è sempre positivo oppure zero per $a=b=0$

Discorso analogo per $b>=a$

Puoi vederla anche come una versione indebolita e (molto) particolare della disuguaglianza di Clarkson.

In realtà mi sa che Clarckson usa proprio una disuguaglianza simile per provare la sua... se ti interessano i dettagli, qui.

È probabilmente qualcosa di ovvio, ma è tutto il giorno che cerco di provare che

per ogni $a, b \ge 0$ e per ogni $n\ge 1$ risulta

$|a-b|^n\le 2^n (a^n+b^n)$

.

Qualcuno ha suggerimenti? Grazie.

La disuguaglianza è simmetrica ed è vera per $a=b$, dunque basta provarla sotto l’ipotesi $a>b>=0$.

Dividendo m.a.m. per $a$ e ponendo $x=b/a$, si ottiene $(1-x)^n <= 2^n (1+x^n)$, sicché basta dimostrare che $phi(x) = 2^n (1+x^n) - (1 - x)^n >=0$ per $0<=x<1$.
Derivando si trova $phi’(x) = 2^n n x^(n-1) + n (1-x)^(n-1) >0$, quindi $phi(x)$ cresce in $[0,1[$ e da ciò segue $phi(x) >= phi(0) = 2^n - 1 > 0$ per ogni $n>0$; dunque hai addirittura la disuguaglianza forte $2^n (1+x^n) > (1 - x)^n$ che implica:

$|a-b|^n < 2^n (a^n + b^n)$.

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

@arnett:

Chiedo scusa per entrare così nella discussione, però è da tanto che te lo volevo chiedere: ma chi è che scruta, poi gira e se ne va?

Ogni volta che lo leggo mi viene da ridere

Un altro modo ancora potrebbe essere questo:
Siccome $a,b>=0$ ho $|a-b|<=a+b$.
Inoltre vale la disuguaglianza $(a/2+b/2)^n<=a^n/2+ b^n/2$ per convessità della funzione $f(x)=x^n$ (con $n >= 1$).
Riorganizzando si ottiene qualcosa di migliore della disuguaglianza voluta, ovvero:
\[|a-b|^n \leq (a+b)^n \leq 2^{n-1}(a^n+b^n)\]

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Una bellissima poesia. Io invece pensavo a un cane, che scruta in un anfratto annusandolo, poi gira, ci fa su la pipì, e se ne va. Una immagine completamente diversa.