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Salve, vorrei un parere da voi riguardo la dimostrazione della seguente proposizione :

Per ogni $x in RR$, la successione $((1+x/n)^n)_(n in NN$ è limitata.

su cui il mio libro di testo è poco chiaro. Io l'ho "interpretata" nel seguente modo:


Se $x=0$, è banale; sia quindi $x!=0$. Se $x<0$, si ha $0<(1+x/n)^n<1$, per ogni $n in NN, n> -x$. Se,invece, $x>0$, qualunque sia $n in NN,n>x$, risulta $0<(1-x/n)^n<1$, ed essendo $0<(1-x^2/n^2)^n<1$ e $(1-x^2/n^2)^n=(1+x/n)^n(1-x/n)^n$, si ha

$0<(1+x/n)^n<1/(1-x/n)^n$.

Poichè $x>0$, la successione $((1+x/n)^n)_(n in NN)$ è strettamente crescente, mentre la successione $(1/(1-x/n)^n)_(n in NN)$ è decrescente per $n>x$. Preso quindi un $n_0 in NN, n_0>x$, si ha :

$0<(1+x/n_0)^(n_0)<(1+x/n)^n<1/(1-x/n)^n<1/(1-x/n_0)^(n_0)$

per ogni $n in NN, n>=n_0$. Quindi la successione è limitata per ogni $x in RR$.

Nella dimostrazione è stata utilizzata la seguente osservazione ovvia

Una successione $(a_n)_(n in N_0)$ è limitata, se e soltanto se esiste un $n_0$ in $NN_0$ tale per cui esistono $m,n in RR$ tali che $m<=a_n<=n$ per ogni $n in NN_0, n>=n_0$.

Grazie in anticipo.

Sì ma qual è il tuo dubbio?

Volevo soltanto sapere se i passaggi della dimostrazione sono corretti.

A me sembra ok. L'unica affermazione da verificare è quella sulla monotonia di \( (1+x/n)^n\). Puoi farlo per esercizio.

Puoi farlo valutando
$ a_n/(a_(n-1) $

Ciao mario9555,

Per amor di precisione quella proposta è una successione di funzioni:

$e_n(x) = (1+x/n)^n = \sum_{k = 0}^n ((n),(k)) x^k/n^k $

Notoriamente poi si ha:

$e_{\infty}(x) := \lim_{n \to +\infty} e_n(x) = \lim_{n \to +\infty} \sum_{k = 0}^n ((n),(k)) x^k/n^k = \sum_{k = 0}^{+\infty} x^k/(k!) = e^x $