calcolo limite di una serie

[gichero]

Salve e auguri a tutti,
Dovrei calcolare il limite di questa serie:
1/(1*2^2)+1/(2*2^4)+1/(3*2^6)+1/(4*2^8)+1/(5*2^10)
Ne ho risolti di apparentemente simili, semplicemente osservando gli sviluppi di Taylor, però in questo caso non ho proprio idea. C'è qualche calcolo da fare? Mi viene il dubbio di non aver proprio capito il procedimento…
Il risultato è ln(4/3).
Grazie a chiunque vorrà darmi qualche dritta.

[gugo82]

Quella proposta non è una serie.

E delle serie non si calcolano limiti.

C’è da correre subito ai ripari…

[gichero]

Non ho messo alla fine + ….
una mia dimenticanza, scusate. La richiesta è copiata dal testo d'esame.

[LoreT314]

Ok ma quello che intende lui è che delle serie non si fa il limite. Quello che l'esercizio chiede è di trovare la somma della serie, che è il limite della successione delle ridotte n-esime.

[gichero]

Grazie per la risposta, quindi non si può risolvere con gli sviluppi di Taylor?

[gugo82]

L’unica cosa qui che non si può risolvere con Taylor è il fatto che non conosci il linguaggio di base. Per quello ti occorre studiare (ossia “correre ai ripari”, come dicevo su).

Per il resto, come scriveresti il generico addendo della serie?

[gichero]

Ti chiedo scusa per la mia ignoranza, puoi dirmi quali sono gli errori che ho commesso nel formulare la domanda?
Il termine generico lo scriverei come 1/(n*2^(2n)) con n>0.

[pilloeffe]

Ciao gichero,

Dovrei calcolare il limite di questa serie:
1/(1*2^2)+1/(2*2^4)+1/(3*2^6)+1/(4*2^8)+1/(5*2^10) + ...

Innanzituto si chiama somma di una serie, poi consiglio di scriverla per bene:

$ 1/(1*2^2)+1/(2*2^4)+1/(3*2^6)+1/(4*2^8)+1/(5*2^10) + ... = \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/( n 2^{2n}) = \sum_{n = 1}^{+\infty} (1/4)^n/n $

Ecco quindi che posto $x := 1/4 $ si riconosce la serie $ \sum_{n = 1}^{+\infty} x^n/n = - ln(1 - x) = ln(1/(1 - x))$ per $ - 1 <= x < 1 $
Naturalmente la somma di tale serie si può dedurre facilmente dallo sviluppo in serie di $ln(1 + x) $ che dovresti conoscere...

[gichero]

Ho capito, ti ringrazio.
Avevo già provato a considerare il termine ennesimo, ma non ero riuscita a generalizzarlo opportunamente per riconoscere lo sviluppo di Taylor corretto. Ti chiederei un'altra cosa, dato che questa tipologia di esercizio è nuova per me. Scrivo ln(1-x) che equivale a ln(1+(-x)) così i termini dello sviluppo saranno tutti negativi e poi -ln(1-x) per renderli tutti positivi?
Per quanto riguarda la formulazione della richiesta, vi giuro che mi ero posta il problema di che significasse limite perché, istintivamente anch'io avevo pensato alla somma, ma mi sono basata sul testo d'esame che ha reso disponibile il docente, ho allegato un' immagine.
Chiedo scusa se mi sono dilungata troppo.

[pilloeffe]

Ho capito, ti ringrazio.

Prego!

Ti chiederei un'altra cosa, dato che questa tipologia di esercizio è nuova per me. Scrivo ln(1-x) che equivale a ln(1+(-x)) così i termini dello sviluppo saranno tutti negativi e poi -ln(1-x) per renderli tutti positivi?

Beh sì, si ha:

$ln(1 + x) = \sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^{n +1} x^n/n = - \sum_{n = 1}^{+\infty} (-x)^n/n$ per $- 1 < x <= 1 $

Scrivendo $ - x $ al posto di $x$ si ha:

$ln(1 - x) = - \sum_{n = 1}^{+\infty} x^n/n \implies \sum_{n = 1}^{+\infty} x^n/n = - ln(1 - x) $ per $- 1 <= x < 1 $

Per quanto riguarda la formulazione della richiesta, vi giuro che mi ero posta il problema di che significasse limite perché, istintivamente anch'io avevo pensato alla somma, ma mi sono basata sul testo d'esame che ha reso disponibile il docente, ho allegato un' immagine.

Ehm... Qui mi trovo un po' in difficoltà: diciamo che si dovrebbe stare molto attenti a non commettere certi errori, soprattutto in un testo d'esame...