Ciao! mi sto esercitando con la continuità delle funzioni in due variabili ed ho visto molti esempi, tuttavia non capisco come risolvere il seguente esercizio:
Studiare al variare del parametro reale $a>0$ la continuità in $(0,0)$ della funzione definita dalla legge:
$ { ( |x|^a siny/(x^2+y)\ \ se (x,y)!= (0,0)),( 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \se (x,y)=(0,0)):} $ In particolar modo quello che più mi preoccupa è la presenza del valore assoluto, come mi comporto?
Ho pensato di applicare la definizione di valore assoluto, ottenendo così due funzioni, una per $x>0$ e l'altra per $x<0$, ma poi cosa dovrei fare?
Ho notato poi che questa tipologia di esercizio si risolve spesso con le coordinate polari, diciamo che a prima vista questa funzione non mi è sembrata adatta ad essere risolta con le coordinate polari ma comunque ho provato ad abbozzare qualcosa, del tipo:
Impongo le coordinate polari, cioè
${ ( x=rho cos(vartheta ) ),( y=rho sin(vartheta) ):}$
a questo punto devo calcolare il seguente limite
$lim_(rho -> 0^+) |rho cos(vartheta)|^a sin(rho sin(vartheta))/(rho^2 cos^2(vartheta)+rho sin(vartheta))$
(Ma la quantità dentro il valore assoluto ora dipende da $vartheta$ poichè $rho$ è positivo, che faccio?)
Poi l'espressione sopra si può in qualche modo semplificare, raccogliendo $rho$ al denominatore ad esempio otterrei $rho^(a-1)$ e potrei dire che tende a $0$ se $a>1$, il resto dell'espressione tende pure a $0$, ma comunque rimane il problema del valore assoluto!
Avete qualche piccolo consiglio?