Verifica di un limite con modulo di $x$

[tetravalenza]

Ciao sul libro di analisi viene chiesto di verificare il seguente limite
\[
\lim_{x\rightarrow 0^+}{\frac{\lvert x\rvert}{x}}=1
\]

Applicando la definizione di limite destro devo trovare un intorno $0<x<\delta_\epsilon$ che verifichi $|f(x)-1| <\epsilon$; nel risolvere il sistema di disequazioni associato giungo alla soluzione $x>0$, essa verifica il limite pur non avendo individuato un $\delta_\epsilon$ finito?

[Bossmer]

Ma il libro ti chiede espressamente di verificarlo con la definizione di limite??
In ogni caso, si perché la tua funzione è identicamente uguale a $1$ per tutti gli $x>0$, quindi intuitivamente significa che non importa quanto è grande l'intervallo destro $\delta_\epsilon$, avrai sempre che per ogni $\epsilon>0$ , $|1-1|<\epsilon$.
In termini formali, la definizione di limite ti dice che $\forall \epsilon>0$ ESISTE $\delta_\epsilon >0$ tale che eccetera... quindi se $|f(x)-L|<\epsilon$ è sempre vera indipendentemente da $\delta_epsilon$ vuol dire che vanno bene tutti i $\delta_\epsilon >0$ perciò esiste eccome UN $\delta_\epsilon$, vanno bene tutti...

[tetravalenza]

Ma il libro ti chiede espressamente di verificarlo con la definizione di limite??

be' veramente no, diceva che si poteva verificare facilmente. Io ho interpretato la cosa attraverso la definizione ma a questo punto penso intendesse dire tramite l'osservazione che hai fatto tu. Comunque c'era questo mio dubbio sul risultato del sistema applicando la definizione.
Grazie per il chiarimento.

[dissonance]

Ma non c'è bisogno di spiegazioni intuitive. La spiegazione formale è molto più semplice ed è anche completamente rigorosa:

Il fatto che \(x\to 0^+\) significa che si considera solo \(x>0\). Con questa condizione, \(\lvert x \rvert =x\). Quindi la funzione di cui occorre calcolare il limite vale
\[
\frac{\lvert x \rvert}{x}=1, \]
ed ovviamente
\[
\lim_{x\to 0^+}1=1.\]

[Bossmer]

Ma non c'è bisogno di spiegazioni intuitive. La spiegazione formale è molto più semplice ed è anche completamente rigorosa:

Il fatto che \(x\to 0^+\) significa che si considera solo \(x>0\). Con questa condizione, \(\lvert x \rvert =x\). Quindi la funzione di cui occorre calcolare il limite vale
\[
\frac{\lvert x \rvert}{x}=1, \]
ed ovviamente
\[
\lim_{x\to 0^+}1=1.\]

Si ma lui voleva una spiegazione riguardo alla definizione di limite, è ovvio che questa che hai scritto tu è la spiegazione più semplice(e quindi migliore ), però rispondendogli questo avrei eluso il dubbio principale che non era risolvere l'esercizio, ma capire quel ""dettaglio"" sul $\delta_\epsilon$... (o almeno a me è sembrato quello il suo dubbio principale)

[dissonance]

Hai ragione, quello sul delta era il dubbio principale. Bisogna rispondere alle domande, non risolvere gli esercizi, la mia risposta è un po' fuori luogo.

[Bossmer]

Ma si tranquillo, almeno adesso ha anche la soluzione dell'esercizio
In ogni caso sei un signore.