kaspar ha scritto: Pensavo ci fosse un'altra soluzione.
Beh la sostituzione con $\alpha$ credo che chiunque per comodità l'avrebbe fatto... poi cercare l'asintotico non era necessario potevi applicare il criterio del confronto o della radice direttamente a quella iniziale, ma questa soluzione non è sostanzialmente diversa perché semplicemente ottieni dei limiti "più difficili" da risolvere.
Anche nella ricerca dell'asintotico potevi cercare un asintotico della forma $d*\alpha^{a*k^b}$ invece di quello che ti ho consigliato, ma anche in questo caso non c'è una differenza sostanziale con quanto abbiamo fatto.
Potevi confrontarlo con la serie notevole $\sum k^a\alpha^k$ con $a>0$ che converge se $|alpha|<1$ e diverge per $|\alpha|\geq 1$... ma anche questo non è sostanzialmente diverso da quanto abbiamo fatto...
Un metodo sostanzialmente diverso per risolverlo sarebbe stato quello del confronto integrale, prima di tutto notavi che la successione $k^3 \alpha^k $ non tende a zero e se $|alpha|\geq 1$ e di conseguenza la serie non può convergere, ed essendo a termini positivi divergerà per forza.
Poi potevi usare il confronto integrale ovvero che
$$
\sum_{k=0}^{+\infty} k^3 \alpha^k \leq \int_{0}^{+\infty} x^3\alpha^x dx
$$
e studiare l'integrale improprio, che converge se $\alpha<1$... e il fatto che converge lo puoi notare o confrontando con la famiglia di integrali notevoli "tabulata", oppure banalmente risolvendo l'integrale indefinito e calcolando il limite della primitiva per $x \to +\infty$ e notando che tale limite esiste finito (se $\alpha<1$), ed essendo definita e limitata in tutto il resto dell'intervallo di integrazione allora l'integrale converge e di conseguenza anche la serie converge...
Altri metodi non saprei... forse esplicitando la successione delle somme parziali viene qualcosa di carino, ma così su due piedi non credo... e il teorema di condensazione di Cauchy non mi sembra immediato da applicare a questa serie... quindi altri metodi al momento non mi vengono in mente...