Studio convergenza \(\sum_{k = 0}^\infty k^3 \lvert 9-b^2 \rvert ^{\frac{4k^2}{k+7}}\)

[kaspar]

\(\newcommand\Serie{\sum_{k = 0}^\infty k^3 \lvert 9-b^2 \rvert ^{4\frac{k^2}{k+7}}}
\newcommand\serie{\sum_{k = 0}^\infty k^3 \alpha ^{\frac{k^2}{k+7}}}
\newcommand\termine{k^3 \alpha ^{\frac{k^2}{k+7}}}
\)Ciao a tutti!
volevo chiedervi un parere sullo studio che ho fatto della serie in titolo. Per attaccare il problema, con la sostituzione \(\alpha := (9-b^2)^4\), studio invece \[\serie\quad \text{con } \alpha \ge 0\,.\] Ho che \[\termine = e ^ {3 \ln k + \frac{k^2}{k+7}\ln \alpha}\] ed analizzando l'esponente ho (un po' tirnado a caso e correggendo il tiro...) \[3 \ln k + \frac{k^2}{k+7}\ln \alpha \sim k \ln \alpha \quad \text{per } k \to \infty\,.\]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Infatti per \(k \to \infty\) \[\frac{3 \ln k + \frac{k^2}{k+7}\ln \alpha}{k \ln \alpha} =
\frac{3\ln k}{k \ln \alpha} + \frac{k^2}{k^2+7k} \to 1\,.\]

Da cui \[
\termine = e ^ {3 \ln k + \frac{k^2}{k+7}\ln \alpha} \sim e^{k \ln \alpha} = \alpha^k \quad \text{per }k \to \infty\,.\]
In definitiva, la nostra \(\serie\) avrebbe lo stesso comportamento della serie geometrica \(\sum_{k = 0}^\infty \alpha ^ k\).

Il resto sono conti semplici e quindi mi fermerei qui. Può andare bene come ragionamento?

[Bossmer]

ed analizzando l'esponente ho (un po' tirnado a caso e correggendo il tiro...) \[3 \ln k + \frac{k^2}{k+7}\ln \alpha \sim k \ln \alpha \quad \text{per } k \to \infty\,.\]

Infatti per \(k \to \infty\) \[\frac{3 \ln k + \frac{k^2}{k+7}\ln \alpha}{k \ln \alpha} =
\frac{3\ln k}{k \ln \alpha} + \frac{k^2}{k^2+7k} \to 1\,.\]

Bisogna andarci cauti con le sostituzioni asintotiche... Perché non è mica sempre vero che
$$
f(x)\sim g(x) \Rightarrow e^{f(x)} \sim e^{g(x)}
$$
Infatti se prendo ad esempio $f(x)=e^x\left(1+\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right)$ Allora è evidente che $f(x)~ g(x)=e^x$ tuttavia non è vero che $e^{f(x)} ~ e^{g(x)}$ infatti :

$$
\lim_{x\to +\infty}\frac{e^{e^x\left(1+\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right)}}{e^{e^x}}=\lim_{x\to +\infty}e^{e^x\left(1+\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right)-e^{e^x}}=+\infty
$$
Quindi c'è da stare attenti, si può dimostrare(provaci ) che se $g(x) \to L$ , con $L\in\mathbb{R}$ allora vale che
$$
f(x)\sim g(x) \Rightarrow e^{f(x)} \sim e^{g(x)}
$$

Ma purtroppo questo non è il tuo caso... Quindi ti manca da verificare questo asintotico:

Da cui \[ e ^ {3 \ln k + \frac{k^2}{k+7}\ln \alpha} \sim e^{k \ln \alpha} = \alpha^k \quad \text{per }k \to \infty\,. \]

Sempre ammesso che sia asintotico

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Non lo è sorry , quindi il ragionamento va aggiustato...

[kaspar]

E allora sono fregato... Non saprei come fare...

[Bossmer]

prova a vedere se il tuo esponenziale è asintotico a una funzione del tipo $\alpha^{ak^b+c}$... con $a$, $b$ e $c$ da determinare...

[kaspar]

Tipo \(a = 1\), \(b = 1\) e \(c = -7\) ?

[Bossmer]

Ottimo!

[kaspar]

Grazie \(\infty\) !

[kaspar]

Per curiosità e confronto: come avreste risolto l'esercizio?

[Bossmer]

Per curiosità e confronto: come avreste risolto l'esercizio?

Addirittura del "Voi" ?!? ahahahahahah

Anyway...

Avrei definito $\alpha$ come hai fatto tu, poi avrei notato che per $\alpha= 0$ e di conseguenza $b=\pm 3$ la serie diventa la somma infinita di $0$ che ovviamente converge a zero.
Poi dopo aver posto $\alpha\ne 0$ avrei mostrato come ti ho suggerito che
$$
\sum_{k=0}^{+\infty} k^3\alpha^{\frac{k^2}{k+7}}\sim \sum_{k=0}^{+\infty} k^3\alpha^{k-7}= \alpha^{-7}\sum_{k=0}^{+\infty} k^3\alpha^{k}$$
e avendo posto $\alpha\ne 0$ non ho problemi col termine $\alpha^{-7}$.
A questo punto la cosa più semplice è applicare equivalentemente il criterio della radice o del rapporto, da cui concludi che la serie converge se $\alpha <1 $ e diverge per $\alpha>1$ visto che $\alpha>0$. Infine essendo escluso il caso $\alpha=1$ avrei sostituito tale valore nella serie notando che ottengo la serie $$\sum_{k=0}^{+\infty}k^3$$ che ovviamente diverge perché $k^3\to +\infty$.
poi chiaramente tutte le disuguaglianze in $\alpha$ vanno risolte per trovare $b$, ma sono disequazioni banali

[kaspar]

Per curiosità e confronto: come avreste risolto l'esercizio?

Addirittura del "Voi" ?!? ahahahahahah

Mi riferivo anche ad un pubblico più vasto. Pensavo ci fosse un'altra soluzione.
Grazie ancora