Aiuto per un esercizio sulle serie .

salve a tutti.
Premetto che per questo esercizio ci ho ragionato per più di 4 ore senza arrivare,purtroppo, ad una soluzione.
Qualcuno riuscirebbe a darmi una mano su come iniziare a risolverlo(senza ovviamente farlo).Ve ne sarai grato.
L’ esercizio recita:
Per quali valori di $alpha$>0 la serie $sum_(n= \2) log(1+(-1)^n/n^alpha) $

Hai provato il criterio del confronto asintotico con $a_n:=\frac{(-1)^n}{n^{\alpha}}$?

si si però il punto è che per usare il confronto asintotico (che posso usare solo con serie di termini positivi) devo prendere il modulo della successione e quindi utilizzare il teorema della convergenza assoluta.
Il problema è proprio qui che per $alpha$ maggiori di 1 non ho problemi la serie converge assolutamente.
Pero per gli $alpha$ minori di 1 il teorema non mi dice niente cioè la serie può comunque diverge o convergere semplicemente.
E l'esercizio mi chiede quando converge non quando converge assolutamente.

Ciao nicolo_galli22,

La serie proposta è la seguente:

$ \sum_{n = 2}^{+\infty} log(1+(-1)^n/n^{\alpha}) $

Posto per brevità $ x = x(n;\alpha) :=\frac{(-1)^n}{n^{\alpha}} $ si vede subito che $\AA \alpha > 0 $ si ha $\lim_{n \to +\infty} x(n;\alpha) = 0 $ e $|x| < 1 \quad \AA n >= 2 $, quindi si può usare lo sviluppo in serie di $log(1 + x) $:

$log(1 + x) = x - 1/2 x^2 + o(x^2) $

Dunque si ha:

$\sum_{n = 2}^{+\infty} log(1 + x) = \sum_{n = 2}^{+\infty} x + \sum_{n = 2}^{+\infty} [-1/2 x^2 + o(x^2)] = \sum_{n = 2}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n^{\alpha}} + \sum_{n = 2}^{+\infty} [-1/(2n^{2\alpha}) + o(1/(n^{2\alpha}))] $

Per il criterio di Leibnitz la prima serie converge $\AA \alpha > 0 $, mentre la seconda converge se $2\alpha > 1 $: pertanto si conclude che la serie proposta converge per $\alpha > 1/2 $

Grazie mille veramente ☺️☺️.
stavo ragionando a mille cose, e non ho pensato a sviluppare il logaritmo comunque grazie veramente sei stato gentilissimo.

E l'esercizio mi chiede quando converge non quando converge assolutamente.

La convergenza semplice è implicata da quella assoluta, quindi almeno per il caso $\alpha>1$ eri coperto dalla convergenza assoluta; magari lo sapevi già, ma comunque te lo dico perché in alcune tipologie di esercizi può essere utile approcciare per certi valori del parametro con l'assoluta per dedurne la semplice e quindi può essere utile tenerlo a mente

Si si grazie mille comunque a tutte e due ,siete stati gentilissimi.
Per risponderti si esatto per gli $alpha$ >di 1 nessun problema avevo la convergenza ma per gli $alpha$ <= a 1 la serie armonica divergeva e il teorema della convergenza assoluta non mi aiutava più.
Anche se la serie per $alpha$ <= a 1 non convergeva assolutamente essa poteva convergere semplicemente soltanto che non sapevo come fare a dimostrare cosa la funzione faceva per gli $alpha$ <= 1.