Integrale improprio ma convergente

[gigimate95]

Ciao ragazzi, ho un dubbio. L'esercizio mi chiede di risolvere il seguente integrale improprio ma convergente.

$ int_(0)^(1) ((x* arcsen (sqrt(1-x)))/( sqrt(x^2-x^3))dx $

ponendo $ t=sqrt(1-x) =>dx=-2t $

Ottengo: $ 2int_(0)^(1)arcsen(t) dt $

E risolvendo per parti ho:

$ 2 arcsen(t)*t-2int_(0)^(1) t/((sqrt(1-t^2) $

Risolvendo anche quest'ultimo integrale mi viene che il risultato finale è

$ pi -2 $


La mia domanda ora è questa: ho fatto bene a risolvere l'integrale in questo modo anche se esso è improprio?
(Mi spiego meglio, anche sapendo che quello fosse un integrale improprio io l'ho risolto come se fosse un integrale definito in quanto il testo mi diceva che era convergente, il risultato viene ma non so se è un caso)
Vi ringrazio!

[pilloeffe]

Ciao gigimate95,

Benvenuto sul forum!

Il risultato è corretto, i passaggi riportati un po' meno...
Si ha:

$ \int_0^1 (x arcsin\sqrt{1 - x})/(\sqrt(x^2-x^3)) \text{d}x = \int_0^1 (arcsin\sqrt{1 - x})/(\sqrt(1-x)) \text{d}x = - 2 [sqrt{x} + \sqrt{1 - x} arcsin\sqrt{1 - x}] _0^1 = $
$ = - 2[1 + 0 - 0 - arcsin1] = - 2[1 - \pi/2] = \pi - 2 $

ho fatto bene a risolvere l'integrale in questo modo anche se esso è improprio?
(Mi spiego meglio, anche sapendo che quello fosse un integrale improprio io l'ho risolto come se fosse un integrale definito in quanto il testo mi diceva che era convergente, il risultato viene ma non so se è un caso)

Tieni conto che non è sempre domenica, nel senso che anche se ti si dice che un integrale improprio è convergente non è sempre detto che lo si riesca a calcolare come in questo caso: qualche volta sono così complicati che si riesce solo a stabilirne la convergenza...

[imFrancesco]

Ciao gigimate95,

Benvenuto sul forum!

Il risultato è corretto, i passaggi riportati un po' meno...
Si ha:

$ \int_0^1 (x arcsin\sqrt{1 - x})/(\sqrt(x^2-x^3)) \text{d}x = \int_0^1 (arcsin\sqrt{1 - x})/(\sqrt(1-x)) \text{d}x = - 2 [sqrt{x} + \sqrt{1 - x} arcsin\sqrt{1 - x}] _0^1 = $
$ = - 2[1 + 0 - 0 - arcsin1] = - 2[1 - \pi/2] = \pi - 2 $

ho fatto bene a risolvere l'integrale in questo modo anche se esso è improprio?
(Mi spiego meglio, anche sapendo che quello fosse un integrale improprio io l'ho risolto come se fosse un integrale definito in quanto il testo mi diceva che era convergente, il risultato viene ma non so se è un caso)

Tieni conto che non è sempre domenica, nel senso che anche se ti si dice che un integrale improprio è convergente non è sempre detto che lo si riesca a calcolare come in questo caso: qualche volta sono così complicati che si riesce solo a stabilirne la convergenza...

Scusate se mi intrometto, ma quindi gli integrali impropri, quando possibile, possono essere risolti tramite la risoluzione di un integrale definito?

[pilloeffe]

Sì, però non vorrei che passasse il messaggio sbagliato: la maggior parte degli integrali impropri non è calcolabile e se ne riesce solo a stabilire le condizioni per la convergenza. Si può cercare su questo stesso forum le parole chiave "Integrale improprio" per rendersene conto, un esempio recente qui.