Esempio di successione non convergente

[Zelda89]

Buongiorno a tutti.
Devo dare un esempio di successione reale $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ tale che
$lim_{n \to \infty} (a_{n+1}-a_n)=0$
che non ha limite $l \in \mathbb{R}$.

Ho pensato molto ingenuamente che se vale quel limite la successione dev'essere di Cauchy e quindi convergere in $\mathbb{R}$, ma evidentemente non è così. Quindi, perchè se vale quel limite la successione può non essere di Cauchy? Sapreste darmi un esempio?
Grazie

[Bossmer]

Beh l'esempio più semplice è $a_n=(-1)^n$...

Per la domanda su Cauchy basta confrontare le definizioni...

Quel limite afferma che
$$\forall \epsilon>0 \exists N\in\mathbb{N} : |a_{n+1}-a_n|<\epsilon \, , \, \forall n>N$$

mentre Cauchy afferma che

$$\forall \epsilon>0 \exists N\in\mathbb{N} : |a_{m}-a_n|<\epsilon \, , \, \forall n,m>N$$

E la prima non implica la seconda, al massimo la seconda implica la prima...

Riesci a vedere perché?

[axpgn]

Non mi pare che quella successione abbia come limite zero ...

[Bossmer]

Non mi pare che quella successione abbia come limite zero ...

OH gesù hai ragione !!!

Ho confuso $-$ con $+$

L'esempio adatto è $a_n=1$ ... o qualunque altra successione costante hah hahaahahah

nella mia testa avevo letto
$$
\lim_{n\to +\infty}(a_{n+1}+a_n) =0
$$

[axpgn]

E quello non è vero

Quello che volevo dire è che se $a_n=(-1)^n$ allora $lim_(n->infty) (a_(n+1)-a_n) != 0$

EDIT: oops, hai corretto quindi adesso è vero quello che hai scritto

[Bossmer]

Eh si ho proprio avuto una svista grazie che l'hai fatto notare!

[obnoxious]

\( a_n = \sum_{k=1}^n 1/k \).

[Zelda89]

L'esempio adatto è $a_n=1$ ... o qualunque altra successione costante hah hahaahahah

Ciao e grazie per la risposta. Perchè una successione costante, come $a_n=1$ va bene?
Direi che
$lim_{n\to \infty} a_n=1$ quindi esiste finito, o sbaglio?

[Zelda89]

\( a_n = \sum_{k=1}^n 1/k \).

Grazie, dopo averci pensato, avevo abbozzato anch'io questa soluzione.

Risolto, grazie a tutti!

[Bossmer]

L'esempio adatto è $a_n=1$ ... o qualunque altra successione costante hah hahaahahah

Ciao e grazie per la risposta. Perchè una successione costante, come $a_n=1$ va bene?
Direi che
$lim_{n\to \infty} a_n=1$ quindi esiste finito, o sbaglio?

No infatti non va bene, ho fatto confusione col meno all'inizio, e infatti la prima successione sarebbe andata bene ma se fosse stato il limite col + ... L'ultimo esempio con la serie rimane quello più adatto