Integrale doppio di un valore assoluto su un ellisse

[Denis.s]

Salve a tutti, questo è il mio primo post e mi scuso in anticipo se ho sbagliato qualcosa nelle formule.
Passando ai fatti: devo risolvere questo integrale
$ \int_D \abs (2x + y) \text{d} x \text{d}y $ dove
$D={(x,y) in RR : 2x^2 + y^2 + 2xy <= 4 , y >= 0} $

Ho provato a sostituire e risolvere con le coordinate polari, ma alla fine mi trovo fra le mani un integrale da pazzi, avete idea di qualche sostituzione "intelligente" ??

[gugo82]

Con un po' di manipolazioni algebriche elementari, si vede che:

$D = \{ (x,y) in RR^2 :\ (2x + y)^2 + y^2 <= 8 \}$

quindi sembra opportuno operare il cambiamento di variabili:

$\{(u=2x+y), (v=y):} <=> \{ (x = 1/2 u - 1/2 v), (y=v) :}$

il cui jacobiano è $J(u,v)=1/2$; in tal modo si ottiene l'integrale più maneggevole:

$\int_E 1/2 |u| text( d) utext(d) v$

esteso ad $E:=\{ (u,v) in RR^2 :\ u^2 + v^2 <= 8\}$ (che è un cerchio di centro $O$ e raggio $2sqrt(2)$).
Ragionando per simmetria, si vede che l'integrale è uguale a:

$int_(E^+) u text( d) utext(d) v$

esteso ad $E^+ = E nn \{ u >= 0 \}$ (settore circolare di $E$ nel semipiano a destra delle ordinate nel piano $Ouv$).

[Denis.s]

Grazie!!!!!!

P.s: stavo giusto ascoltando i Pink Floyd