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Ciao,
Ho un dubbio inerente a questo esercizio:
Dovrei calcolare il volume interno ad una sfera di equazione $x^2+y^2+z^2=196$, ed esterno a una circonferenza $x^2+y^2=49$. Ho provato a risolverlo con le coordinate sferiche mettendo che il raggio varia tra 7 e 14, ma non so se è propriamente corretto.
Aspetto una vostra risposta,
Grazie.

Cos’è il “volume esterno ad una circonferenza”?

Ciao,
Questa è una prova che mi è stata sottoposta all'esame di Analisi 2 all'università.
La traccia diceva: "Calcolare il volume interno alla sfera e esterno alla circonferenza".
Io ho subito pensato 'come si calcola il volume di una figura schiacciata sul piano? (la circonferenza), allora chiesi alla prof. e lei mi disse che questa era una domanda grave da fare.
Allora poi ho risolto l'integrale passando alle coordinate sferiche considerando che il raggio variava dall'esterno della circonferenza all'interno della sfera, l'ho calcolato come se fossero state due sfere concentriche.
Non ho ben capito neanche io il senso dell'esercizio, per questo mi sono rivolto a voi.
Spero qualcuno mi sappia dare qualche risposta.

\(x^2+y^2=49\) non è una circonferenza.

cext104 ha scritto:allora chiesi alla prof. e lei mi disse che questa era una domanda grave da fare.

E ci credo, perchè come ti hanno già detto, non è una circonferenza.
Siamo in $RR^3$ e la z è libera.
Quindi la z è l'asse di "tubo" di raggio 7
Ti si chiede di trovare il volume della sfera meno il volume dell'intersezione fra il tubo e la sfera.

Quindi ho sbagliato facendo il passaggio in coordinate sferiche? E poi però come faccio a stabilire dove varia z?

Bokonon ha scritto:Siamo in $RR^3$ e la z è libera.
Quindi la z è l'asse di "tubo" di raggio 7
Ti si chiede di trovare il volume della sfera meno il volume dell'intersezione fra il tubo e la sfera.

Spoiler!

cext104 ha scritto:Quindi ho sbagliato facendo il passaggio in coordinate sferiche? E poi però come faccio a stabilire dove varia z?

"\( x^2+y^2=49 \)" significa "l'insieme di tutte le terne \((x,y,z)\) tali che \(x^2+y^2=49\)".

Ok quindi la z poteva avere qualsiasi valore ma io avevo sempre una figura del tipo .
Allora non ho ben chiaro come dovevo procedere, potete illuminarmi?

[Non riesco a vedere l'immagine].
Non è che ci sia una grande scienza dietro a questa cosa: il dominio di integrazione è la differenza tra una sfera e un cilindro. La cosa più naturale mi sembra passare a coordinate cilindriche.

cext104 ha scritto:Quindi ho sbagliato facendo il passaggio in coordinate sferiche? E poi però come faccio a stabilire dove varia z?

Il tuo problema principale è non capire cosa stai facendo.
Adesso che "vedi" il tubo e la sfera, vedrai come è fatta l'intersezione.
Presto "vedrai" che il tubo e la sfera hanno in comune un cilindro fino alle altezze $z=+-h$ a cui si sommano due cupolotti identici (sezioni appunto dei dei due piani $z=+-h$ con la sfera).
Quindi Volume Sfera-volume ciilindro di altezza 2h- due volte il volume di un cupolotto =soluzione