Valore estremi di una funzione a due variabili su un rettangolo

Messaggioda JGiuls » 20/01/2020, 12:14

Si determino i valori estremi della funzione a due variabili
f(x,y)=xy
sul rettangolo [-1,1]x[-4,1/5]

Allora ho proceduto a derivare la funzione rispetto a x e y:
df/dx=y e df/dy=y
Ponendoli uguali a zero e mettendoli a sistema ho trovato il punto P(0,0) che calcolando la matrice Hessiana mi viene un punto di sella che dovrebbe far parte dell'intervallo del rettangolo.
Dopo questo non so più come proseguire.
JGiuls
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 6 di 12
Iscritto il: 29/12/2019, 17:11

Re: Valore estremi di una funzione a due variabili su un rettangolo

Messaggioda Bokonon » 20/01/2020, 12:47

Anche senza fare grandi calcoli, basta notare $f(x,y)$ è sempre positiva per valori di x e y nel primo e terzo quadrante. Ed è sempre negativa nel secondo e quarto quadrante.
Quindi avrà un massimo in (-1,-4) e un minimo in (1,-4).

Per uno studio analitico invece devi tagliare la curva lungo i bordi del rettangolo ponendo:
a) $x=+-1$ per $-4<y<1/5$
b) $y=-4$ e $y=1/5$ per $-1<x<1$
Avatar utente
Bokonon
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 1954 di 5942
Iscritto il: 25/05/2018, 20:22

Re: Valore estremi di una funzione a due variabili su un rettangolo

Messaggioda dissonance » 22/01/2020, 10:54

Bokonon ha scritto:Anche senza fare grandi calcoli, basta notare $f(x,y)$ è sempre positiva per valori di x e y nel primo e terzo quadrante. Ed è sempre negativa nel secondo e quarto quadrante.
Questo è vero.

Quindi avrà un massimo in (-1,-4) e un minimo in (1,-4).
Questo però bisogna dimostrarlo. Il fatto che la funzione sia positiva da una parte e negativa dall'altra non è sufficiente, ovviamente. Penso che tu intendessi che è solo una congettura, ma siccome non è molto chiaro ho voluto puntualizzare.
Per uno studio analitico invece devi tagliare la curva lungo i bordi del rettangolo ponendo:
a) $x=+-1$ per $-4<y<1/5$
b) $y=-4$ e $y=1/5$ per $-1<x<1$

Eh già.
dissonance
Moderatore
Moderatore
 
Messaggio: 15997 di 27757
Iscritto il: 24/05/2008, 19:39
Località: Nomade

Re: Valore estremi di una funzione a due variabili su un rettangolo

Messaggioda Bokonon » 22/01/2020, 21:07

dissonance ha scritto:Questo però bisogna dimostrarlo. Il fatto che la funzione sia positiva da una parte e negativa dall'altra non è sufficiente, ovviamente. Penso che tu intendessi che è solo una congettura, ma siccome non è molto chiaro ho voluto puntualizzare.

No, ho dato per scontata la seconda parte, ovvero che la funzione è il prodotto delle coordinate per cui è evidente più grandi sono X e Y più grande è il valore assoluto del prodotto.
Pertanto qualsiasi sia il rettangolo, il/i minimo/i e massimo/i vanno ricercati fra i vertici del rettangolo.
Avatar utente
Bokonon
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 1968 di 5942
Iscritto il: 25/05/2018, 20:22


Torna a Analisi matematica di base

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 1 ospite