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Salve a tutti, durante gli studi abbiamo dimostrato svariati risultati nell'ambito dell'analisi con le cosiddette "dimostrazioni $\varepsilon$-$\delta$"; un "dettaglio" di queste dimostrazioni è che $\delta>0$ deve dipendere solo da $\varepsilon$ e da $x_0$, mai da $x$.
A caldo mi verrebbe da dire che, se esso dipendesse anche da $x$, essendo $x$ variabile lo sarebbe anche $\varepsilon$ e non è ciò che vogliamo; infatti vogliamo che, fissato $\varepsilon>0$, si esibisca un $\delta>0$ tale che, ad esempio per la continuità, se $0<|x-x_0|<\delta$ risulti $|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$, ossia vogliamo che la stima di $|f(x)-f(x_0)|$ sia arbitraria e ciò non può avvenire se $\varepsilon$ è variabile.
Per caso è questo il motivo? O c'è qualcosa di più "profondo"?
Grazie per il vostro tempo!

Prova a scrivere la definizione di "limite" con \(\delta\) che dipende da \(x\). Secondo me, non ha senso proprio a livello logico. Tu comunque prova a scriverla, forse mi sbaglio io.

Il valore \(\delta\) è il raggio di una palla aperta nel dominio, insomma tu di fatto stai cercando un intervallo che contiene \(x_0\) e la cui immagine è contenuta in un qualche intervallo del codominio. Può la lunghezza di un intervallo dipendere dal valore di un suo elemento?

Una variabile quantificata da $EE$ non può dipendere da variabili quantificate con $AA$ dopo di essa; intuitivamente, il susseguirsi dei quantificatori $EE$ e $AA$ significa che la variabile quantificata da $EE$ va bene per ogni possibile scelta della variabile quantificata da $AA$, dunque l’ipotizzare che la variabile quantificata da $EE$ dipenda da quella quantificata da $AA$ seguente significherebbe dire esattamente il contrario.
Così nella formula $AA epsilon > 0, EE delta > 0:\ AA x in text(etc…)$, la variabile $delta$ non può dipendere da $x$.

@dissonance: In effetti è quello che poi ha esplicitato gugo82, avevi ragione!

@vict85: In effetti sarebbe almeno bizzarro, non ho pensato a quest'interpretazione; mi ero fossilizzato sull'aspetto logico, grazie per il punto di vista!

@gugo82: Perfetto, grazie. Questo chiarisce molto!

gugo82 ha scritto:Uintuitivamente, il susseguirsi dei quantificatori $ EE $ e $ AA $ significa che la variabile quantificata da $ EE $ va bene per ogni possibile scelta della variabile quantificata da $ AA $

Posso chiedere qual è il motivo non intuitivo? Sono curioso e di logica so poco e nulla!

Dal punto di vista logico, supponi di avere una formula dipendente da due variabili \(\varphi( a, b )\). Di questa formula puoi determinarne la verità solo se fissi \(\displaystyle a \) e \(\displaystyle b \). Usando un quantificatore \(\displaystyle Q \) (dove \(\displaystyle Q \) può essere \(\displaystyle \exists \) oppure \(\displaystyle \forall \)) puoi trasformare \(\displaystyle \varphi \) in una formula che dipende da una sola variabile. La variabile che è stata quantificata diventa muta e smette di essere un input della formula.

Nota che l'ordine è importante se i quantificatori sono diversi. Mentre puoi spesso cambiare l'ordine quando usi lo stesso quantificatore più volte.

Venendo al caso specifico. Se tu dici \(\exists a, \forall b, \varphi(a,b)\) allora sta dicendo che esiste un \(a\) per cui \(\forall b, \varphi(a,b)\) è vera. Similmente \(\forall b, \exists a, \varphi(a,b)\) equivale a dire che \(\displaystyle \exists a, \varphi(a,b) \) è vera indipendentemente dalla scelta di \(\displaystyle b \).

vict85 ha scritto:Dal punto di vista logico, supponi di avere una formula dipendente da due variabili \(\varphi( a, b )\). Di questa formula puoi determinarne la verità solo se fissi \(\displaystyle a \) e \(\displaystyle b \). Usando un quantificatore \(\displaystyle Q \) (dove \(\displaystyle Q \) può essere \(\displaystyle \exists \) oppure \(\displaystyle \forall \)) puoi trasformare \(\displaystyle \varphi \) in una formula che dipende da una sola variabile. La variabile che è stata quantificata diventa muta e smette di essere un input della formula.

Nota che l'ordine è importante se i quantificatori sono diversi. Mentre puoi spesso cambiare l'ordine quando usi lo stesso quantificatore più volte.

Venendo al caso specifico. Se tu dici \(\exists a, \forall b, \varphi(a,b)\) allora sta dicendo che esiste un \(a\) per cui \(\forall b, \varphi(a,b)\) è vera. Similmente \(\forall b, \exists a, \varphi(a,b)\) equivale a dire che \(\displaystyle \exists a, \varphi(a,b) \) è vera indipendentemente dalla scelta di \(\displaystyle b \).

Bella risposta, semplice e concisa.
Non avrei saputo dire meglio. Brav.