Discussione omogenea del secondo ordine

Salve a tutti, ho questi quesiti:
1) Sia data l'equazione differenziale \(\displaystyle y''+4y'+3y=0 \). E' vero che:

a) ha soluzioni illimitate superiormente su \(\displaystyle (0, +\infty) \)
b) tutte le soluzioni sono limitate su \(\displaystyle (- \infty, 0) \)
c) ha soluzioni non costanti e limitate su \(\displaystyle \mathbb{R} \)
d) tutte le soluzioni sono limitate su \(\displaystyle (0, +\infty) \)
e) tutte le soluzioni sono limitate su \(\displaystyle \mathbb{R} \)

In questo quesito la risposta esatta è la d) tuttavia non capisco per quale motivo dato che la soluzione dell'omogenea è \(\displaystyle c_1 e^{-3t} +c_2 e^{-t} \) e scegliendo \(\displaystyle c_1 \), \(\displaystyle c_2 < 0 \) per \(\displaystyle t \to -\infty \) le soluzioni tendono a \(\displaystyle -\infty \)



2)Sia data l'equazione differenziale \(\displaystyle y'' +2y' -8y=0 \)

a) tutte le soluzioni sono limitate inferiormente su \(\displaystyle (0, +\infty) \)
b) l'equazione ha soluzioni non costanti e limitate su \(\displaystyle (0, +\infty) \)
c) tutte le sue soluzioni sono limitate superiormente su \(\displaystyle (0, +\infty) \)
d) tutte le sue soluzioni non costanti sono illimitate su \(\displaystyle (- \infty, 0) \)
e) tutte le sue soluzioni sono limitate su \(\displaystyle (- \infty, 0) \)

La risposta esatta è la b). Mi chiedo perchè, dato che qui la soluzione dell'omogenea è \(\displaystyle c_1 e^{-4 t} + c_2 e^{2t} \) e posto \(\displaystyle c_2 = 0 \) e \(\displaystyle c_1 <0 \) per \(\displaystyle t \to -\infty \) la soluzione tende a \(\displaystyle -\infty \).

Vi ringrazio in anticipo!

Ciao Buraka,

la soluzione dell'omogenea è $c_1e^{-3t} + c_2e^{−t} $ e scegliendo $c_1$, $c_2<0 $ per $t \to -\infty $ le soluzioni tendono a $−\infty$

Quindi non sono limitate... Occhio però che nella risposta d) c'è scritto $(0, +\infty) $

La risposta esatta è la b). Mi chiedo perchè, dato che qui la soluzione dell'omogenea è $c_1 e^{-4t} + c_2 e^{2t} $ e posto $c_2=0 $ e $c_1<0 $ per $t \to -\infty $ la soluzione tende a $−\infty $.

Anche qui occhio che nella risposta b) c'è scritto $(0, +\infty) $.

Che errore madornale... Non ci avevo fatto caso! Grazie mille

Cos’è una “discussione omogenea”?
Tipo un discorso tra persone che la pensano allo stesso modo???

Per favore, un po’ di attenzione ai titoli dei thread.
Grazie.

Cos’è una “discussione omogenea”?

Pure io ci ho messo un po' a capire cosa si intendesse!

"Una omogenea", o "un differenziale", per dire "una equazione differenziale omogenea" o "una equazione differenziale" sono gergo da studenti ma sono abbreviazioni terribili, perché significano completamente un'altra cosa. Come dicevo, secondo me a questo punto è meglio dire "una equazione", almeno non c'è ambiguità.

"Una omogenea", o "un differenziale", per dire "una equazione differenziale omogenea" o "una equazione differenziale" sono gergo da studenti […]

Dalle mie parti non si usa… Non mi è mai capitato di sentire nemmeno un ingegnere dire cose simili.

Veramente neanche a me. Ma sul forum le ho viste varie volte.

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Facevo ripetizioni ad un informatico che abbreviava il problema di Cauchy semplicemente con "Cauchy", quindi quando dovevamo risolverne uno diceva sempre "ora risolviamo Cauchy..."