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Salve a tutti, avrei dei problemi con questo esercizio:
Sia $f_n(x) = x/(n+1)sin(x/n)$. Dire se la funzione somma $f(x)$ della serie $\sum_(n=1)^ ∞(f_n(x))$ è continua su $\R$.
Essendo la continuità una proprietà locale, verifico la continuità su un intervallo arbitrario (a,b) contenuto in R.
$f(x)$ è continua se la serie delle $f_n(x)$,che sono continue, converge uniformemente in (a,b).
Passo dalla convergenza totale e qui mi blocco perchè sup$|x/(n+1)sin(x/n)|$ su (a,b) come lo trovo?
Ho provato a farne la derivata e viene:
$f'_n(x) = 1/(n+1)(sin(x/n)+x/ncos(x/n)) = 0$ per x = 0 e quindi avrei che se 0 appartiene ad (a,b) la funzione è continua ma altrimenti come faccio a trovare sup$|x/(n+1)sin(x/n)|$ su (a,b)?

Osserva che $|sin t| <= |t|$.

Grazie!
Quindi basta dire che $|x/(n+1)sin(x/n)|<=|x^2/(n(n+1))|<=|b^2/(n(n+1))|$ in (a,b).
Inoltre $lim_n(b^2/(n(n+1))) = 0$ e $\sum_(n=1)^∞(b^2/(n(n+1)))$ converge essendo infinitesima di ordine 2 e allora la funzione somma è continua, giusto?

Se $x in [-100, 1]$ sei sempre convinto che $x^2 <= b^2$?

E' vero scusami... quindi devo studiare il valore assoluto di a e b?
Se $|a|<=|b|$ allora prendo $b^2/(n(n+1))$ altrimenti $a^2/(n(n+1))$

Vabbè, un bel $max \{ a^2, b^2\}$ e passa la paura.