Ciao, cerco un aiuto riguardo il cambio coordinate. Ad esempio ho imparato in questo corso di analisi 1 a cambiare coordinate da cartesiane a polari (utile anche per i numeri complessi ecc. perché alla fine è "come" un $RR^2$, con molte virgolette sul "come").
Il punto è che non capisco il motivo ma sento di non aver del tutto fatto mio il concetto per quanto sappia usarlo bene ed è qui che vorrei chiedere gentilmente una mano.
Il punto è questo: mettiamo di avere $(x(t),y(t))$ posso anche ribattezzarlo: $(\rhocos\theta(t),rhosin\theta(t))$. se io voglio derivare x(t) rispetto al tempo (ma qualunque altra operazione io svolta, ad esempio se voglio sfruttare gli archi associati e riscrivermi il coseno come seno e il suo arco notevole) posso sempre farlo e sono sicuro che le due rappresentazioni non si discostino.
In alre parole, fatico ad esporre cosa non riesca ad afferrare in pieno, ma non capisco perché sia sicuro di poter operare su una rappresentazione o sull'altro usando le proprietà del coseno, ad esempio, e che mantengano coerenza tra le due cose.
Io definisco una funzione di passaggio coordinata, e va bene x->cosϑ, ma perché se derivo la sua immagine (o svolgo operazioni su archi associati) questa funzione di passaggio mi mantiene coierenza anche sulla derivata di x(t)?
Spero qualcuno possa fugare questo dubbio che mi attanaglia.
Grazie!