Limite di un esponenziale

[zooropeanily]

Ciao a tutti,

Sto andando in crisi con un limite.

Devo calcolare $ \lim_{x \to -1^-} (x^2-1)e^(-3/(x+1)) $

Il risultato dovrebbe essere $ 0 $ (come per $ \lim_{x \to -1^+} (x^2-1)e^(-3/(x+1)) $ ), ma continua a venirmi una forma indeterminata per via di:

$ e^(-3/((-1^-)+1)) $ , cioè $ e^(-3/(0^-) $, quindi $ e^(\+infty) $

Pensando al grafico di $ e $ che tende ad infinito, alla fine mi viene la forma indeterminata $ (0) (\+infty) $... Cosa sto sbagliando?

Grazie a chi vorrà aiutarmi

[Mephlip]

In realtà il limite per $x\to-1^-$ è $+\infty$, infatti hai che
$$\lim_{x\to -1^-} (x^2-1)e^{-\frac{3}{x+1}}=\lim_{x\to -1^-} (x+1)(x-1)e^{-\frac{3}{x+1}}=\lim_{x\to -1^-} (x-1)\frac{e^{-\frac{3}{x+1}}}{\frac{1}{x+1}}=+\infty$$
Dove ho usato il fatto che l'esponenziale tende a $+\infty$ più velocemente di quanto lo faccia $\frac{1}{x+1}$ e che il segno di $\frac{x-1}{\frac{1}{x+1}}$ è positivo, in quanto il numeratore $x-1$ tende a $-2$ e il denominatore $\frac{1}{x+1}$ è negativo al limite per $x\to-1^-$.

[zooropeanily]

Grazie per la risposta.

Evidentemente ho saltato qualcosa nello studio dei limiti, perché non mi è chiaro il motivo per cui si può dividere per $ \frac{1}{x+1} $, oltre alle considerazioni "questo 'prevale' su quest'altro"... Credo di averle lette in velocità ma pensavo fosse solo un aiuto a memorizzare il 'funzionamento' dei limiti.
Come si chiamano questi argomenti?
Scusate se sono domande banali, ma non potendo frequentare mi sto arrangiando come posso.

EDIT: Aspetta, ha a che fare con la regola per i prodotti indeterminati? Non mi sarebbe mai venuto in mente di dividere solo per $ \frac{1}{x+1} $. Avevo provato con l'intero $ \frac{1}{x^2-1} $, ma era uscita una forma indeterminata lo stesso.
Ma quindi dovrei andare per tentativi fino a quando non mi viene un risultato non indeterminato? Questo era un esercizio nei vecchi esami, perderò un sacco di tempo.

Comunque a me i calcolatori online danno tutti 0 come risultato finale...

[axpgn]

Comunque a me i calcolatori online danno tutti 0 come risultato finale...

Se arrivi da destra ma da sinistra, no …

[zooropeanily]

Comunque a me i calcolatori online danno tutti 0 come risultato finale...

Se arrivi da destra ma da sinistra, no …

Eppure mi dà zero da entrambe le parti...
https://www.wolframalpha.com/input/?i=limits&assumption=%7B"F"%2C+"Limit"%2C+"limit"%7D+->"-1"&assumption=%7B"FP"%2C+"Limit"%2C+"direction"%7D+->+"Right"&assumption=%7B"F"%2C+"Limit"%2C+"limitfunction"%7D+->"%28x%5E2-1%29e%5E%28-3%2Fx%2B1%29"&assumption=%7B"C"%2C+"limits"%7D+->+%7B"Calculator"%7D

[Mephlip]

Prego! Non ho diviso, ho riscritto $(x+1)(x-1)$ come $\frac{x-1}{\frac{1}{x+1}}$; stai sbagliando a scrivere l'esponenziale, se non metti la parentesi al denominatore dell'esponente dell'esponenziale il calcolatore pensa di dover dividere $-3$ solo per $x$ e non $-3$ per $x+1$, guarda qui https://www.wolframalpha.com/input/?i=l ... 1%29%29%29
Non conosco la "regola dei prodotti indeterminati", semplicemente si dimostra (criterio del rapporto per successioni e criterio successioni-funzioni) che gli esponenziali "dominano" sulle potenze di ogni grado (quando c'è tendenza all'infinito degli esponenziali e delle potenze suddette).

[zooropeanily]

AAAHN ok, grazie!
Ecco vedi, i criteri che hai citato non li ho studiati, quindi andrò a vedermeli.

[zooropeanily]

gli esponenziali "dominano" sulle potenze di ogni grado (quando c'è tendenza all'infinito degli esponenziali e delle potenze suddette).

Mmm... Ho una domanda: ma allora una volta notato $ e^(\+infty) $ avrei anche potuto "dimenticarmi" dello $ (0) $ che si genera da $ (x^2-1) $?

[Mephlip]

No: il confronto tra infiniti ha senso se è fatto in un rapporto (in effetti non l'ho spiegato bene, scusami), stavo confrontando $e^{-\frac{3}{x+1}}$ ed $\frac{1}{\frac{1}{x+1}}$.
Infatti in teoria sarebbe una forma del tipo $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$, ma il numeratore tende all'infinito esponenzialmente e il denominatore tende all'infinito come una potenza e quindi torna tutto il discorso di prima.

[zooropeanily]

Perfetto, grazie mille!