Limite di un esponenziale

[zooropeanily]

Ciao a tutti,

Riprendo questo topic perché la domanda è la stessa ma per una funzione diversa.
Ho difficoltà a risolvere i limiti tendenti ad infinito per questa funzione:

$ f(x)= (x-3) e^((x)/(1-x)) $

Facendo qualche rozzo calcolo con la calcolatrice, ho capito che l'esponenziale tende a $ e $ per $ x -> +- infty $ (perché l'esponente si avvicina a $ 1 $ al crescere di $ x $), ma [EDIT, vedi messaggio successivo] vorrei capire come arrivarci con le regole del calcolo dei limiti.

Ne approfitto per un'altra domanda che riguarda invece il limite che tende a $ 1^- $ : quando vado a sostituire al numeratore dell'esponenziale, devo considerare $ 1 $ e non $ 1^- $, vero?

Grazie mille per il prezioso aiuto che mi state dando.

[axpgn]

Mi sa che ti sbagli …

[Mephlip]

L'esponente dell'esponenziale tende a $-1$, non a $1$; lo vedi con la tecnica standard di raccogliere il termine dominante all'infinito.
Hai che
$$\lim_{x\to \infty} \exp\left(\frac{x}{1-x}\right)=\lim_{x\to \infty} \exp\left(\frac{x}{x\left(\frac{1}{x}-1\right)}\right)=\exp(-1)=\frac{1}{e}$$
Hai un risultato analogo per $x\to -\infty$, non capisco quindi come dalla calcolatrice (tecnica che personalmente sconsiglio) tu abbia dedotto che l'esponente dell'esponenziale tenda ad $1$.

Il problema con la storia di $1^-$ è che a te interessa soltanto il segno del rapporto all'esponente dell'esponenziale: il denominatore tende a zero e ti interessa solo sapere se tende a zero da destra o da sinistra. Quindi il numeratore, non tendendo ad un valore "soglia" che può cambiare segno a seconda che tu stia tendendo ad $1$ da destra o da sinistra, è ininfluente sul segno del rapporto, che tenda a $1^-$ o $1$.

[zooropeanily]

non capisco quindi come dalla calcolatrice (tecnica che personalmente sconsiglio) tu abbia dedotto che l'esponente dell'esponenziale tende ad $1$.

No scusatemi tanto, ho sbagliato: avevo dimenticato il segno meno.

Grazie mille Mephlip, adesso mi è chiaro: non mi sembrava lecito usare la tecnica che hai descritto solo all'esponenziale, tralasciando $ (x-3) $. Ottenevo così $ (1-0) $ e mi mandava in pappa il calcolo.

[Mephlip]

Prego! Non è che lo tralasci, è che raccogliendo elimini la forma indeterminata all'esponente dell'esponenziale e tutto tende pacificamente ad $\infty$ o a $-\infty$ dopo aver raccolto (nel caso di $x \to \pm \infty$); quindi non hai più problemi.
Tuttavia ora non ho capito proprio da quale calcolo possa uscire fuori $(1-0)$

[zooropeanily]

Avevo raccolto la $ x $ anche su $ (x-3) $ (poi io in realtà non "raccolgo" ma "divido tutto per", non so se le due cose siano sempre equivalenti), ottenendo così $ 1-(3/infty) $ ...

[Mephlip]

Ah okay, pensavo fosse il risultato di tutto il limite (esponenziale compreso) e non mi tornavano proprio i conti neanche con le più fantasiose manipolazioni algebriche; chiaramente ti rimane una $x$ davanti a tutto che manda comunque tutto a $\pm \infty$ per $x \to \pm \infty$.
Devi moltiplicare e dividere però, altrimenti non ha proprio senso: non so se intendevi questo e semplicemente non hai trascritto bene sul forum, insomma dovresti fare una cosa del genere
$$\lim_{x \to \infty} (x-3)\exp\left(\frac{x}{1-x}\right)=\lim_{x \to \infty} \frac{x}{x}(x-3)\exp\left(\frac{x}{\frac{x}{x}(1-x)}\right)=$$
$$=\lim_{x \to \infty} x\left(1-\frac{3}{x}\right)\exp\left(\frac{1}{\frac{1}{x}-1}\right)=\infty$$

[zooropeanily]

E invece mi hai rivelato quale altro errore facevo: "dividendo tutto per" anziché "raccogliere", nel caso di $ (x-3) $ si perde la $ x $ che mi permette di ottenere l'infinito.
Cioè ottenevo questo:

$ lim_(x -> infty) (x-3)e^((x)/(1-x)) = (1-0)e^(1/(0-1) $

Grazie mille davvero per tutti i chiarimenti!

[Mephlip]

Prego! Meno male che è uscito fuori questo aspetto, non ha senso perché quella divisa per $x$ è tutta un'altra funzione e quindi non stai riscrivendo la stessa cosa in un altro modo; invece moltiplicando e dividendo per $x$ stai sostanzialmente sfruttando il fatto di scrivere $1$ in una delle sue forme, ossia se $x \ne 0$ è $1=\frac{x}{x}$.
Essendo $1$ l'elemento neutro per il prodotto, la funzione scritta come nel mio ultimo messaggio è equivalente a quella di partenza.

Come già parlavo con @axpgn in un altro post, quest'ultimo aspetto uscito ora evidenzia ancora di più quanto sia importante riportare quante più informazioni possibili in un post (a volte anche i conti più spiccioli) se si vuole ottenere un aiuto che sia il più efficiente possibile.