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Salve a tutti!
Mi servirebbe un aiuto col seguente esercizio:

Data la seguente funzione
$$f(x,y)=\begin{cases} \displaystyle\frac{|xy|^{\alpha}}{(x^2+3y^4)^2}\quad \text{per} \, (x,y)\neq(0,0) \\ \displaystyle 0 \quad \quad \quad \quad \text{per} \, (x,y)=(0,0) \end{cases}$$
studiare la continuità, la derivabilità parziale e la differenziabilità in $(0,0)$ al variare del parametro reale $\alpha>0$.

Riguardo la continuità, per iniziare, l’unica cosa che ho potuto concludere è che restringendo alle rette, per $\alpha\le 2$ il limite dipende da $m$ quindi non esiste. Come proseguo lo studio per $\alpha >2$?

Per esempio usando la disuguaglianza
\[\tag{1}
(|x|^\alpha-|y|^\alpha)^2\ge 0. \]
Questo ti aiuta nel caso \(\alpha >4\). Resta da capire \(\alpha\in (2, 4]\).

P.S.: Usando \(|xy|^\alpha \le \frac{1}{p}|x|^{p\alpha} + \frac{1}{q}|y|^{q\alpha},\) dove \(\frac1p+\frac1q=1\), arrivo a dimostrare che la funzione è continua per \(\alpha >\frac83\), ma resta aperto il caso
\(\alpha\in (2, \frac83]\). Se qualcuno lo calcola mi farebbe piacere sapere cosa succede in questo intervallo.

Grazie dissonance...
Avevo fatto progressi, esattamente in quell'intervallo.
Restringendo sulla parabola $x=y^2$ si ha:
$$f(y^2,y)= \frac{|y|^{3\alpha}}{16\cdot y^8}=\frac{|y|^{3\alpha -8}}{16}$$
E quindi non la funzione non dovrebbe essere continua per $\alpha \le \frac{8}{3}$.

La prima disuguaglianza esprime solo il fatto che il quadrato di un numero reale non è negativo. Da cui discende immediatamente che
\[
|ab|\le \frac12a^2+\frac12b^2, \quad \forall a, b\in\mathbb R, \]
che è quello che usi qui con \(a=|x|^\alpha, b=|y|^\alpha\). Questo è un trucco fondamentale che usano un sacco pure i fisici.

La seconda disuguaglianza ne è una facile generalizzazione, invece di \(2\) e \(\frac12\) puoi prendere \(p, q\), dove \(\frac1p+\frac1q=1\). Secondo me senza questa disuguglianza è più difficile calcolare il limite di questo esercizio.