da anto_zoolander » 17/02/2020, 11:44
Quello che sto per fare potrebbe essere radioattivo
prendo la funzione $f(x)=log(x)^x$
l'obiettivo dei passi successivi è mostrare che il limite esiste, così da poterlo calcolare(volendo) anche con una successione.
la funzione $f$ esiste in $(0,1)$ per tutti i valori di $QQ cap (0,1)$ dove il razionale, ridotto ai minimi termini, deve avere il denominatore dispari. Se non sbaglio non ci sono altri valori, poniamo $D$ quindi l'insieme su cui è definita per $0<x<1$
per tali valori possiamo scrivere
$f(x)=(logx)^x=(-1)^x log(1/x)^x$ di fatto in quell'insieme $(-1)^x$ può essere calcolato sempre.
è chiaro che se $x->0$ in quell'insieme allora $(-1)^x -> 1$
mi posso pertanto concentrare sulla parte $lim_(x->0)log(1/x)=lim_(x->0)e^(xlog(log(1/x))$
lavoro sulla funzione $g(x)=xlog(log(1/x))$ che essendo ben definita in $(0,1)$ la considero come $g:(0,1)->RR$ per studiarne qualche proprietà
$g'(x)=(log(log(1/x))-1)/(log(1/x))$ che per $0<x<e^(-e)$ è strettamente positiva ovvero $g$ è monotona crescente sull'insieme $(0,e^(-e))$ e quindi lo è anche su ogni sottoinsieme. Stando lavorando sui limiti le condizioni che valgono definitivamente ci vanno bene e quindi possiamo porci tranquillamente su $Dcap(0,e^(-e))$
pertanto significa che $lim_(x->0) x log(log(1/x))$ esiste e coincide con l'estremo inferiore in quell'insieme.
esistendo tale limite allora esistono anche $lim_(x->0)e^(xlog(log(1/x))$ e $lim_(x->0)log(x)^x$
pertanto hai due possibilità: calcoli $lim_(x->0) x log(log(1/x))$ oppure prendi una qualsiasi successione del tipo $1/(a_n)$ con $a_n$ sempre dispari(tipo $1/(2n+1)$) e calcoli $lim_(n->+infty)log(1/a_n)^(1/a_n)$
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