Studio differenziabilità in un punto

Mi viene chiesto di studiare la differenziabilità nel punto (0,0) della funzione $|x|ln(1+y)$

Per svolgere l'esercizio ho calcolato la derivate parziali

$ \partialdx=(xln(1+y))/|x|$

$ \partialdy=|x|/(1+y)$

è corretto afferarmare che la funzione non è derivabile in (0,0) perchè la derivata parziale in x non è definita per x = 0?

No, devi usare la definizione di derivabilità in quanto $|x|$ non è derivabile nell'origine; riprova.

La derivata parziale in x non esiste perché il limite destro e sinistro differiscono nel punto (0,0), questo è dovuto al valore assoluto al denominatore. Perché una funzione sia differenziabile in un punto non è necessario che le derivate parziali esistano? Non riesco a capire come procedere.

No, non puoi usare le regole di derivazione perché esse valgono solo nei punti in cui sai che la funzione è derivabile (questo fatto ti dovrebbe essere già noto dal calcolo differenziale in una variabile), quindi non puoi usare le regole di derivazione e farne il limite per dedurre la derivabilità perché $|x|$ non è derivabile in $0$ e tu stai studiando la derivabilità in $(0,0)$.
Per calcolare le derivate parziali in $(0,0)$ devi usare la definizione, ossia fare il limite del rapporto incrementale per l'incremento che tende a $0$, ossia devi calcolare
$$\frac{\partial f}{\partial x} (0,0):=\lim_{h \to 0} \frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h}$$
Essendo un limite per $h\to0$, affinché esso esista devi studiare (come hai giustamente detto) sia la tendenza a destra che a sinistra di $h$.
Analogamente la derivata parziale rispetto ad $y$ in $(0,0)$ è data da
$$\frac{\partial f}{\partial y} (0,0) := \lim_{k \to 0} \frac{f(0,0+k)-f(0,0)}{k}$$
Anche qui devi studiare sia la tendenza a destra che a sinistra di $k$.
Se tali limiti esistono finiti e coincidono allora $f$ è derivabile in $(0,0)$ e le derivate parziali in $(0,0)$ sono i limiti suddetti; in tutti gli altri punti $(x,y)$ non ci sono problemi di derivabilità per $f$ e pertanto le derivate si calcolano con le regole di derivazione che hai scritto nel tuo primo messaggio.

Vediamo se ho capito, (porta pazienza )
Prima calcolo la funzione nel punto (0,0) quindi f(0,0) = 0
Poi calcolo il limite del rapporto incrementale per x

$\lim_{h\to 0} (|h|ln(1))/h = 0$

e per y

$\lim_{k\to 0} (|0|ln(1+k))/k = 0$

Vi sto che i limiti esistono e coincidono la funzione è differenziabili in (0,0)

Giusto: attenzione però, intendevo che i limiti destri e sinistri per $h$ e per $k$ dei rapporti incrementali rispettivi devono essere uguali e coincidenti, non devono essere coincidenti i limiti per $h\to0$ e per $k\to0$ tra loro.
Quelli possono anche essere diversi, sono i valori della derivata di $f$ rispetto ad $x$ e rispetto ad $y$ nel punto $(0,0)$; intendo che deve risultare
$$\lim_{h\to0^+} \frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h}=\lim_{h\to0^-} \frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h}$$
$$\lim_{k\to0^+} \frac{f(0,0+k)-f(0,0)}{k}=\lim_{k\to0^-} \frac{f(0,0+k)-f(0,0)}{k}$$
Mentre in generale se una funzione è derivabile è
$$\frac{\partial f}{\partial x} (x_0,y_0) \ne \frac{\partial f}{\partial y} (x_0,y_0)$$
Ossia in generale è
$$\lim_{h\to0} \frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h} \ne \lim_{k\to0} \frac{f(x_0,y_0+k)-f(x_0,y_0)}{k}$$

Va tutto benissimo, però bisogna studiare la differenziabilità, e non è stato fatto ancora niente in quella direzione.

@dissonance: sì, infatti avevo una mezza impressione che fosse un typo ma in effetti non ho più chiesto se effettivamente lo fosse! Rimedio subito

Quindi Qwerty79, per la differenziabilità in $(0,0)$ devi dimostrare che
$$\lim_{(h,k) \to 0} \frac{f(0+h,0+k)-f(0,0)-f_x(0,0)h-f_y(0,0)k}{\sqrt{h^2+k^2}}=0$$
Oppure puoi usare qualche teorema sulla differenziabilità.

come faccio a passare dalla mia funzione iniziale al limite ?

Non ho capito il dubbio...hai la tua $f(x,y)=|x|\ln(1+y)$ e devi valutare $f(h,k)$, sottrarle $f(0,0)$, sottrarle $f_x(0,0)h$, sottrarle $f_y(0,0)k$, dividere tutto per $\sqrt{h^2+k^2}$ e far vedere che quel limite è nullo; se è nullo $f$ è differenziabile in $(0,0$).